Funkcje elementarne

Cegiełki, z których zbudowana jest cała analiza: trygonometryczne prosto z koła jednostkowego, ich funkcje odwrotne i powód, dla którego trzeba było zawęzić dziedzinę, oraz funkcje hiperboliczne — te same wzory co trygonometryczne, tylko na hiperboli zamiast na okręgu. Każda tożsamość jest tu sprawdzana liczbowo na gęstej siatce, a nie tylko wypisana.

sin² + cos² = 1

Koło jednostkowe

Skąd biorą się sinus, cosinus, tangens i cotangens — jako odcinki, nie jako tabelka

P = (cos α, sin α)
L = P ?

Tożsamości

Siedem wzorów, każdy z obiema stronami narysowanymi i różnicą policzoną na siatce

sin(α+β) = sinα cosβ + cosα sinβ
odbicie w y = x

Cyklometryczne

arcsin, arccos, arctg, arcctg — i dlaczego arcsin(sin x) nie zawsze daje x

arcsin: [−1,1] → [−π/2, π/2]
cosh² − sinh² = 1

Hiperboliczne

Zbudowane z eˣ i e⁻ˣ, parametryzują hiperbolę tak, jak sin i cos parametryzują okrąg

cosh t = (eᵗ + e⁻ᵗ)/2
ln zamiast arc

Odwrotne hiperboliczne

arsinh, arcosh, artanh mają wzory logarytmiczne — wyprowadzone z równania kwadratowego

arsinh x = ln(x + √(x²+1))
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Dokładna wartość cos 15°, sin(arccos(3/5)), wyprowadzenie wzoru na arsinh

3 rozwiązane zadania

Koło jednostkowe

Punkt na okręgu o promieniu 1 pod kątem α ma współrzędne (cos α, sin α) — to jest definicja, a nie wniosek. Tangens to długość odcinka na prostej stycznej x = 1, cotangens — na stycznej y = 1. Stąd od razu widać, gdzie te funkcje nie istnieją.
koło jednostkowe
wykres

Tożsamości trygonometryczne

—
Obie strony są liczone niezależnie i rysowane jedna na drugiej. Jeśli tożsamość jest prawdziwa, krzywe pokrywają się co do piksela, a maksymalna różnica na siatce 2000 punktów jest rzędu błędu maszynowego (10⁻¹⁶).

Funkcje cyklometryczne

Sinus nie jest różnowartościowy, więc odwrócić można go dopiero po zawężeniu dziedziny do przedziału, na którym jest rosnący. Wykres funkcji odwrotnej to odbicie względem prostej y = x — stąd zamiana dziedziny z przeciwdziedziną.

Funkcje hiperboliczne

Te same wzory co trygonometryczne, tylko na hiperboli x² − y² = 1 zamiast na okręgu x² + y² = 1. Punkt (cosh t, sinh t) leży na hiperboli dla każdego t, a parametr t to podwojone pole wycinka — dokładnie tak, jak kąt na okręgu.
budowa z eᵗ i e⁻ᵗ
hiperbola x² − y² = 1

Odwrotne funkcje hiperboliczne

—
Odwrotne funkcje hiperboliczne nie potrzebują nowego symbolu — dają się zapisać logarytmem. Powód: odwracając y = (eˣ − e⁻ˣ)/2 podstawiamy u = eˣ i dostajemy równanie kwadratowe u² − 2yu − 1 = 0, którego rozwiązanie wystarczy zlogarytmować.

Przykład 1 — dokładna wartość cos 15° ze wzoru na cosinus różnicy

Oblicz dokładną (niedziesiętną) wartość cos 15°.

1. Rozkładamy 15° na kąty, których wartości znamy z tablicy: 15° = 45° − 30°.
2. Wzór na cosinus różnicy: cos(α − β) = cos α·cos β + sin α·sin β.
3. Podstawiamy: cos 15° = cos 45°·cos 30° + sin 45°·sin 30°.
4. Wartości: cos 45° = sin 45° = √2/2, cos 30° = √3/2, sin 30° = 1/2.
5. cos 15° = (√2/2)(√3/2) + (√2/2)(1/2) = √6/4 + √2/4 = (√6 + √2)/4.
6. Kontrola numeryczna: (2,449 + 1,414)/4 = 3,863/4 ≈ 0,9659, a kalkulator dla cos 15° daje 0,96593 ✓.
7. Kontrola strukturalna: 15° jest małym kątem, więc cosinus powinien być bliski 1 — i jest. Gdybyśmy pomylili znak we wzorze (cos α cos β − sin α sin β), wyszłoby cos 75° ≈ 0,2588, czyli wartość dla kąta dopełniającego. To najczęstszy błąd przy tym wzorze.

Przykład 2 — sin(arccos(3/5)) oraz dlaczego arcsin(sin(3π/4)) ≠ 3π/4

Część A. Oblicz sin(arccos(3/5)).
1. Oznaczmy α = arccos(3/5). Z definicji arccos wiemy dwie rzeczy: cos α = 3/5 oraz α ∈ [0, π].
2. Z jedynki trygonometrycznej sin²α = 1 − cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, więc sin α = ±4/5.
3. Na przedziale [0, π] sinus jest nieujemny, więc odrzucamy minus: sin α = 4/5.
4. Zauważ, że bez informacji o przedziale z kroku 1 zadanie nie miałoby jednoznacznej odpowiedzi — cała robota funkcji cyklometrycznej polega na wskazaniu, którą z dwóch wartości wybrać.

Część B. Oblicz arcsin(sin(3π/4)).
5. Najpierw wnętrze: sin(3π/4) = sin(π − π/4) = sin(π/4) = √2/2.
6. Teraz arcsin(√2/2) = π/4, bo arcsin zwraca wartości z przedziału [−π/2, π/2], a π/4 tam leży.
7. Zatem arcsin(sin(3π/4)) = π/4 ≠ 3π/4. Tożsamość arcsin(sin x) = x zachodzi tylko dla x ∈ [−π/2, π/2]. Dla pozostałych x wynikiem jest ten kąt z przedziału głównego, który ma ten sam sinus.
8. W drugą stronę jest inaczej: sin(arcsin x) = x zachodzi dla każdego x ∈ [−1, 1], bo tu najpierw zawężamy do przedziału głównego, a dopiero potem wychodzimy.

Przykład 3 — wyprowadzenie wzoru arsinh x = ln(x + √(x² + 1))

Znajdź funkcję odwrotną do y = sinh x = (eˣ − e⁻ˣ)/2.

1. Zapisujemy równanie i mnożymy obie strony przez 2: 2y = eˣ − e⁻ˣ.
2. Podstawiamy u = eˣ (zauważ: u > 0 zawsze). Wtedy e⁻ˣ = 1/u i równanie przyjmuje postać 2y = u − 1/u.
3. Mnożymy przez u: 2yu = u² − 1, czyli u² − 2yu − 1 = 0 — zwykłe równanie kwadratowe ze względu na u.
4. Δ = 4y² + 4, √Δ = 2√(y²+1), więc u = (2y ± 2√(y²+1))/2 = y ± √(y² + 1).
5. Odrzucamy minus: √(y²+1) > |y| dla każdego y, więc y − √(y²+1) < 0, a u = eˣ musi być dodatnie. Zostaje u = y + √(y² + 1).
6. Logarytmujemy: x = ln(y + √(y² + 1)). Zamieniając nazwy zmiennych: arsinh x = ln(x + √(x² + 1)).
7. Kontrola dla x = 0: ln(0 + 1) = 0, a sinh 0 = 0 ✓. Dla x = 1: ln(1 + √2) = ln(2,4142) ≈ 0,8814, a sinh(0,8814) = (2,4142 − 0,4142)/2 = 1 ✓.
8. Ta sama metoda dla cosh daje arcosh x = ln(x + √(x² − 1)) — tym razem z ograniczeniem x ≥ 1, bo cosh nigdy nie schodzi poniżej 1, a dziedzinę trzeba zawęzić do x ≥ 0, żeby funkcja była różnowartościowa.