Algebra liniowa

Przekształcenia liniowe jako geometria: jak macierz działa na siatkę i okrąg, co mówi wyznacznik, kierunki własne, dwa sposoby rozłożenia macierzy na proste kroki (diagonalizacja i SVD), i rzut prostokątny stojący za metodą najmniejszych kwadratów.

GEOMETRIA

Przekształcenia liniowe

Macierz jako działanie na siatkę, okrąg i wektory bazowe

F(x) = Ax
SKALA

Wyznacznik

det(A) jako współczynnik zmiany pola i orientacji

det(A) = ad − bc
KIERUNKI

Wartości i wektory własne

Kierunki, które macierz tylko skaluje, nie obraca

Av = λv
ROZKŁAD

Diagonalizacja

W bazie wektorów własnych przekształcenie to zwykłe skalowanie

A = PDP⁻¹
ROZKŁAD

SVD

Każda macierz to: obrót/odbicie, skalowanie, obrót/odbicie — nawet gdy nie ma rzeczywistych wartości własnych

A = UΣVᵀ
ZASTOSOWANIE

Najmniejsze kwadraty

Dopasowanie prostej jako rzut prostokątny na przestrzeń kolumnową

min ‖y − Xβ‖²
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Pełne wyliczenia: wartości własne, wyznacznik, SVD

3 rozwiązane zadania
Każda zakładka mieści się w jednym oknie ekranu · suwaki aktualizują wykresy na żywo · zaprojektowano pod projektor sali wykładowej

Przekształcenia liniowe

Macierz A=[[a,b],[c,d]] przekształca punkt (x,y) w (ax+by, cx+dy). Siatka i okrąg jednostkowy po prawej pokazują, co robi to z całą płaszczyzną.

A = [1, 0; 0, 1]
Niebieska strzałka to obraz e₁=(1,0), pomarańczowa — obraz e₂=(0,1). To kolumny macierzy A.
przed
po: Ax

Wyznacznik

det(A) = ad − bc

|det(A)| to współczynnik, przez jaki A mnoży pole każdej figury. Znak mówi, czy orientacja (kolejność e₁,e₂) się odwraca.

det(A)
3.0
pole równoległoboku (jednostki²)
3.0
Orientacja zachowana — e₁→e₂ nadal „w lewo".

Wartości i wektory własne

Av = λv

Wektor własny to kierunek, który A tylko skaluje (przez λ), nie obraca. Większość kierunków się obraca — wektory własne to wyjątki.

wartości własne
λ₁=3, λ₂=2

Diagonalizacja

A = P D P⁻¹

Jeśli A ma dwa liniowo niezależne wektory własne, to w bazie tych wektorów przekształcenie jest zwykłym, niezależnym skalowaniem wzdłuż dwóch kierunków — macierz D na przekątnej.

D (na przekątnej)
diag(2, 0.5)
baza standardowa (z kierunkami własnymi)
w bazie własnej: tylko skalowanie

Rozkład SVD

A = U Σ Vᵀ

Każdą macierz (nawet bez rzeczywistych wartości własnych) da się rozłożyć na: obrót/odbicie (Vᵀ), skalowanie wzdłuż osi (Σ), obrót/odbicie (U). Suwak pokazuje te trzy kroki po kolei.

wartości osobliwe σ₁, σ₂
σ₁=3.26, σ₂=1.84

Najmniejsze kwadraty

min Σ(yᵢ − mxᵢ − b)²

Najlepsza prosta minimalizuje sumę kwadratów pionowych odległości (reszt) do punktów. To geometrycznie rzut wektora obserwacji na przestrzeń kolumnową modelu.

nachylenie m
—
wyraz wolny b
—
suma kwadratów reszt
—
Kliknij na wykres, aby dodać punkt. Czerwone odcinki to reszty — kwadraty ich długości są sumowane i minimalizowane.
kliknij, aby dodać punkt

1. Wartości i wektory własne

A = [[2,1],[1,2]]. Wielomian charakterystyczny: (2−λ)² − 1 = 0 → λ² − 4λ + 3 = 0 → λ₁=3, λ₂=1.
Dla λ₁=3: (A−3I)v=0 → [[−1,1],[1,−1]]v=0 → v₁ = (1,1)/√2.
Dla λ₂=1: (A−1I)v=0 → [[1,1],[1,1]]v=0 → v₂ = (1,−1)/√2.
Sprawdzenie: Av₁ = (2+1,1+2)/√2 = (3,3)/√2 = 3·v₁ ✓

2. Wyznacznik jako pole

A = [[2,1],[0,3]]. det(A) = 2·3 − 1·0 = 6.
Obrazy wektorów bazowych: e₁→(2,0), e₂→(1,3). Pole równoległoboku o tych bokach:
wzór Gaussa (shoelace) dla wierzchołków (0,0),(2,0),(3,3),(1,3): 2·3 − 0·1 = 6. ✓ Zgadza się z wyznacznikiem.

3. SVD macierzy 2×2

A = [[2,0],[1,1]]. AᵀA = [[5,1],[1,1]]. Wielomian: (5−λ)(1−λ)−1=0 → λ²−6λ+4=0 → λ = 3±√5.
σ₁ = √(3+√5) ≈ 2.288, σ₂ = √(3−√5) ≈ 0.874.
v₁ (wektor własny AᵀA dla większego λ) ≈ (0.973, 0.230), v₂ ≈ (0.230, −0.973) (prostopadłe — AᵀA symetryczna).
u_i = Av_i / σ_i. Sprawdzenie: σ₁·σ₂ = √((3+√5)(3−√5)) = √(9−5) = √4 = 2 = |det(A)| = |2·1−0·1| ✓