Geometria analityczna w przestrzeni

Wektory swobodne, trzy iloczyny i wszystko, co z nich wynika: równanie płaszczyzny, opis prostej, odległości, kąty, proste skośne, rzuty prostokątne i symetrie. Każdy wzór na odległość jest w tym module sprawdzany drugą drogą — raz ze wzoru, raz przez wyznaczenie spodka prostopadłej i policzenie odcinka.

a·b, a×b, (a×b)·c

Trzy iloczyny

Skalarny jako rzut, wektorowy jako pole i normalna, mieszany jako objętość ze znakiem

|a×b| = |a||b|sin θ
Ax+By+Cz+D=0

Płaszczyzna

Wektor normalny, postać ogólna, odległość punktu i spodek prostopadłej

d = |n·Q − D₀|/‖n‖
P₀ + t·v

Prosta

Postać parametryczna i kierunkowa, odległość punktu od prostej przez iloczyn wektorowy

d = ‖v × (Q−P₀)‖/‖v‖
skośne?

Wzajemne położenie

Dwie proste: przecinające się, równoległe czy skośne — i wspólna prostopadła

d = |(v₁×v₂)·P₁P₂|/‖v₁×v₂‖
Q → Q′ → Q″

Rzuty i symetrie

Rzut prostokątny na prostą i na płaszczyznę, punkt symetryczny jako Q″ = 2Q′ − Q

|QQ′| = |Q′Q″|
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Płaszczyzna przez trzy punkty, odległość prostych skośnych, symetria względem płaszczyzny

3 rozwiązane zadania

Iloczyn skalarny, wektorowy, mieszany

Płaszczyzna: Ax + By + Cz + D = 0

Wektor n = (A,B,C) jest prostopadły do płaszczyzny — to cała treść równania: punkt X leży na płaszczyźnie dokładnie wtedy, gdy n·(X − P₀) = 0. Odległość punktu Q liczymy rzutując wektor P₀Q na kierunek n.

Prosta: X = P₀ + t·v

Postać parametryczna X = P₀ + tv i kierunkowa (x−x₀)/v₁ = (y−y₀)/v₂ = (z−z₀)/v₃ to ten sam obiekt. Odległość punktu Q od prostej to wysokość równoległoboku rozpiętego przez v i P₀Q: pole dzielone przez podstawę.

Dwie proste w przestrzeni

Rozstrzyga iloczyn mieszany (v₁ × v₂) · P₁P₂. Jeśli v₁ × v₂ = 0, proste są równoległe. Jeśli nie, a iloczyn mieszany = 0 — leżą w jednej płaszczyźnie i się przecinają. Jeśli iloczyn mieszany ≠ 0 — są skośne, a jego moduł podzielony przez ‖v₁ × v₂‖ to odległość między nimi.

Rzut prostokątny i punkt symetryczny

Rzut prostokątny to odjęcie składowej prostopadłej: na płaszczyznę Q′ = Q − (n·Q/‖n‖²)·n, na prostą Q′ = (v·Q/‖v‖²)·v. Punkt symetryczny powstaje przez przedłużenie tego samego odcinka: Q″ = 2Q′ − Q.

Przykład 1 — płaszczyzna przez trzy punkty i odległość punktu od niej

Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez A(1,0,0), B(0,2,0), C(0,0,3) i policz odległość punktu Q(1,1,1) od tej płaszczyzny.

1. Dwa wektory leżące w płaszczyźnie: AB = B − A = (−1,2,0), AC = C − A = (−1,0,3).
2. Wektor normalny to ich iloczyn wektorowy: n = AB × AC = (2·3 − 0·0, 0·(−1) − (−1)·3, (−1)·0 − 2·(−1)) = (6, 3, 2).
3. Kontrola prostopadłości: n·AB = −6 + 6 + 0 = 0 ✓, n·AC = −6 + 0 + 6 = 0 ✓.
4. Równanie: n·(X − A) = 0, czyli 6(x−1) + 3(y−0) + 2(z−0) = 0, po uporządkowaniu 6x + 3y + 2z − 6 = 0.
5. Sprawdzenie na pozostałych punktach: B → 0 + 6 + 0 − 6 = 0 ✓, C → 0 + 0 + 6 − 6 = 0 ✓.
6. Odległość Q(1,1,1): d = |6·1 + 3·1 + 2·1 − 6| / √(6² + 3² + 2²) = |5| / √49 = 5/7 ≈ 0,714.
7. Druga droga (kontrola): spodek prostopadłej Q′ = Q − (5/49)·(6,3,2) = (1 − 30/49, 1 − 15/49, 1 − 10/49) = (19/49, 34/49, 39/49). Wtedy |QQ′| = (5/49)·‖(6,3,2)‖ = (5/49)·7 = 5/7 ✓ — ta sama liczba.

Przykład 2 — odległość prostych skośnych

Zbadaj wzajemne położenie prostych l₁: (x−1)/2 = (y+1)/1 = z/(−1) oraz l₂: X = (0,2,1) + s·(1,−1,2). Jeśli są skośne, policz odległość między nimi.

1. Z postaci kierunkowej l₁ odczytujemy P₁(1,−1,0) i v₁ = (2,1,−1). Dla l₂: P₂(0,2,1), v₂ = (1,−1,2).
2. v₁ × v₂ = (1·2 − (−1)(−1), (−1)·1 − 2·2, 2·(−1) − 1·1) = (1, −5, −3). Jest niezerowy, więc proste nie są równoległe.
3. P₁P₂ = P₂ − P₁ = (−1, 3, 1).
4. Iloczyn mieszany: (v₁ × v₂) · P₁P₂ = 1·(−1) + (−5)·3 + (−3)·1 = −1 − 15 − 3 = −19 ≠ 0.
5. Skoro iloczyn mieszany jest niezerowy, wektory v₁, v₂, P₁P₂ nie leżą w jednej płaszczyźnie — proste są skośne (nie przecinają się i nie są równoległe).
6. ‖v₁ × v₂‖ = √(1 + 25 + 9) = √35.
7. Odległość: d = |−19| / √35 = 19/√35 = 19√35/35 ≈ 3,211.
8. Interpretacja: |(v₁×v₂)·P₁P₂| to objętość równoległościanu rozpiętego przez v₁, v₂, P₁P₂, a ‖v₁×v₂‖ to pole jego podstawy. Iloraz to wysokość — czyli właśnie odległość między prostymi.

Przykład 3 — rzut prostokątny i symetria względem płaszczyzny

Dana jest płaszczyzna π: x + 2y − 2z = 1 i punkt Q(3,1,−2). Wyznacz rzut prostokątny Q′ punktu Q na π oraz punkt Q″ symetryczny do Q względem π.

1. n = (1, 2, −2), ‖n‖ = √(1+4+4) = 3.
2. n·Q = 1·3 + 2·1 + (−2)(−2) = 3 + 2 + 4 = 9. Odchylenie od płaszczyzny: n·Q − 1 = 8.
3. Odległość: d = 8/‖n‖ = 8/3 ≈ 2,667.
4. Rzut: Q′ = Q − ((n·Q − 1)/‖n‖²)·n = (3,1,−2) − (8/9)·(1,2,−2) = (19/9, −7/9, −2/9).
5. Kontrola — Q′ musi leżeć na π: 19/9 + 2·(−7/9) − 2·(−2/9) = (19 − 14 + 4)/9 = 9/9 = 1 ✓.
6. Punkt symetryczny: Q″ = 2Q′ − Q = (38/9 − 3, −14/9 − 1, −4/9 + 2) = (11/9, −23/9, 14/9).
7. Kontrola — Q″ musi leżeć po drugiej stronie w tej samej odległości: n·Q″ = 11/9 − 46/9 − 28/9 = −63/9 = −7, więc n·Q″ − 1 = −8. Znak przeciwny niż w kroku 2, moduł ten sam, zatem d(Q″, π) = 8/3 ✓.
8. Kontrola dodatkowa: wektor QQ″ = Q″ − Q = (11/9 − 27/9, −23/9 − 9/9, 14/9 + 18/9) = (−16/9, −32/9, 32/9) = −(16/9)·(1, 2, −2) — jest równoległy do n, zgodnie z definicją symetrii prostopadłej ✓.