Całki Wielokrotne

Interaktywna symulacja — wizualizacje 2D/3D, animacje i przykłady krok po kroku

FUNDAMENT

Sumy Riemanna

Animacja zbieżności n→∞

Σᵢⱼ f(xᵢ,yⱼ)·ΔA
2D

Całka podwójna

Mapa kolorów + powierzchnia 3D

∫∫D f(x,y) dA
3D

Całka potrójna

Brył 3D z przekrojem z=const

∫∫∫V f dV
KLUCZOWE

Jakobian

Animowana transformacja siatki

dA = |J| du dv
∘ KOŁA

Biegunowe

Kardioid, róża, spirala, …

r dr dθ
⌀ WALCE

Walcowe

Walce, stożki, paraboloidy

r dr dθ dz
● KULE

Kuliste

Kule, elipsoidy, segmenty

ρ² sinφ dρ dφ dθ
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Pole koła · obj. kuli · całka Gaussa

Pełne wyprowadzenia
ZESTAWIENIE

Porównanie układów

Tabela Jakobianów i siatki

Strategia wyboru
Każda zakładka mieści się w oknie ekranu · suwaki aktualizują wizualizacje na żywo · zaprojektowano pod projektor sali wykładowej

Sumy Riemanna

Geometryczna definicja całki wielokrotnej jako granicy sum prostokątów

Definicja

Całka podwójna jako granica

∫∫D f dA = limn→∞ Σᵢⱼ f(xᵢ,yⱼ)·ΔAᵢⱼ

Kolory = wartość f(x,y) w centrum każdej komórki. Ciemnoniebieski = min, czerwony = max.

Parametry siatki
Siatka n×n:6
Funkcja:
Suma Riemanna na [0,π]²:–
Tw. Fubiniego

Zamiana na całki iterowane

∫ab[∫cd f dy] dx = ∫cd[∫ab f dx] dy

Dla ciągłych f kolejność całkowania nie ma znaczenia.

Wymiarowość
1D →Pole pod krzywą; przedział [a,b]
2D →Objętość pod powierzchnią; D⊂ℝ²
3D →Masa bryły z gęstością ρ(x,y,z)

Całka podwójna

∫∫D f(x,y) dA — mapa wartości, powierzchnia 3D i wynik numeryczny

Prostokąt [a,b]×[c,d]

Całkowanie iterowane

∫ab∫cd f(x,y) dy dx

Mapa = f(x,y). Niebieski prostokąt = obszar całkowania.

Granice i funkcja
a (x min):0
b (x max):π
c (y min):0
d (y max):π/2
∫∫ f dA ≈–
Obszar nieregularny

Zmienne granice

∫ab[∫φ₁(x)φ₂(x) f dy] dx

Całka potrójna

∫∫∫V f(x,y,z) dV — objętości, masy i przekroje poprzeczne

Iterowanie od wewnątrz

Obliczanie

∫ab∫c(x)d(x)∫pq f dz dy dx

Najpierw z, potem y, na końcu x.

Prostopadłościan
a (x):1.0
b (y):1.5
c (z):2.0
Obrót:30°
Przekrój z=:—
V = a·b·c =3.000
Zastosowania
m = ∫∫∫ ρ(x,y,z) dV
V = ∫∫∫ 1 · dV
Permutacje

6 kolejności całkowania — każda poprawna (Fubini).

Zamiana zmiennych — Jakobian

Współczynnik rozciągania elementu pola; animowana transformacja siatki

1. Idea
2. Definicja
3. Przykład
4. dA żywo
Motywacja

Dlaczego zamieniać zmienne?

Koło — granice w kartezjańskim są trudne; w biegunowym — stałe.

∫02π∫0R f·r dr dθ vs ∫−RR∫−√…√… f dy dx
Wzór ogólny
∫∫D f(x,y) dA = ∫∫D' f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv

Niebieska siatka = linie r=const (kwadraty → okręgi)

Zielona siatka = linie θ=const (poziome → promienie)

Definicja macierzy Jakobianu

Transformacja (u,v) → (x,y):

[
∂x/∂u∂x/∂v∂y/∂u∂y/∂v
]
J = (∂x/∂u)(∂y/∂v) − (∂x/∂v)(∂y/∂u)
dA = |J| du dv
Interpretacja
|J|>1 → obszar się rozszerza
|J|<1 → obszar się kurczy
|J|=0 → degeneracja!
Biegunowe: x=rcosθ, y=rsinθ
[
cosθ−r sinθsinθr cosθ
]
J = r cos²θ + r sin²θ = r
dA = r · dr dθ
Pole koła metodą biegunową
R:2.0
A = πR² =12.566
Interaktywny element pola
r:2.00
θ:45°
|J| = r =2.0
dA = r·Δr·Δθ ≈0.060

Zielony równoległobok = element pola. Im dalej od środka (większe r), tym większy element — bo Jakobian = r.

Współrzędne biegunowe

Koło, kardioid, róża, spirala — cztery różne krzywe r(θ) z obszarami całkowania

Transformacja

Wzory

x=r cosθ, y=r sinθ
r=√(x²+y²), dA=r dr dθ
Wybierz krzywą r(θ)
Koło
Kardioid
Róża (4)
Spirala
Wzór:r = a
a (skala):2.0
θ_max:360°
A = ½∫r² dθ ≈12.566
Całka Gaussa

∫∫ e^(−x²−y²) dA

= ∫02π∫0∞ e^(−r²)·r dr dθ = π
→ ∫−∞∞ e^(−x²) dx = √π
Wzór na pole
A = ½∫αβ [r(θ)]² dθ

Kardioid r=a(1+cosθ): A=3πa²/2
Róża r=a·|cos(2θ)|: A=πa²/2

Współrzędne walcowe

Biegunowe + oś z — walce, stożki, paraboloidy; Jakobian = r

Transformacja

Wzory

x=r cosθ, y=r sinθ, z=z
dV = r · dr dθ dz

Całka potrójna

∫z₁z₂∫02π∫0R(z) f·r dr dθ dz
Parametry walca
R:1.5
H:2.0
Obrót:25°
V = πR²H =14.137
Typowe obszary
Walecx²+y²≤R², 0≤z≤H
Stożek0≤r≤(R/H)·z, 0≤z≤H
Paraboloidz=r², 0≤r≤R

Współrzędne kuliste

Trójka (ρ,φ,θ) — kule i elipsoidy; Jakobian = ρ² sinφ

Transformacja
x=ρ sinφ cosθ, y=ρ sinφ sinθ, z=ρ cosφ
ρ≥0, φ∈[0,π], θ∈[0,2π]
dV=ρ² sinφ · dρ dφ dθ
Segment kuli
ρ:1.0
φ_max:180°
θ_max:360°
Obrót 3D:30°
V=θ(1−cosφ)ρ³/3=4.1888
Wyprowadzenie V kuli R
∫02π∫0π∫0R ρ² sinφ dρ dφ dθ
= 2π · 2 · R³/3 = 4πR³/3

Przykłady krok po kroku

Trzy klasyczne zadania — wybór układu, Jakobian, obliczenie

PRZYKŁAD 1 — BIEGUNOWE

Pole koła x²+y²≤R²

1

Wybór układu

Obszar ma symetrię kołową → biegunowy. Granice staną się stałe.

2

Zamiana i granice

x=r cosθ, y=r sinθ

r∈[0,R], θ∈[0,2π]

3

Jakobian

J = r → dA = r dr dθ
4

Obliczenie

∫02π∫0R r dr dθ
= 2π · [r²/2]0R
= 2π · R²/2
Wynik
A = πR²
PRZYKŁAD 2 — KULISTE

Objętość kuli x²+y²+z²≤R²

1

Wybór układu

Bryła to kula → kuliste. x²+y²+z²=ρ², granice stałe.

2

Granice

ρ∈[0,R], φ∈[0,π], θ∈[0,2π]

3

Jakobian

J = ρ² sinφ → dV = ρ² sinφ dρ dφ dθ
4

Obliczenie (rozdzielenie zmiennych)

∫02πdθ · ∫0πsinφ dφ · ∫0Rρ² dρ
= 2π · [−cosφ]0π · R³/3
= 2π · 2 · R³/3
Wynik
V = 4πR³/3
PRZYKŁAD 3 — CAŁKA GAUSSA

∫−∞∞∫−∞∞ e^(−x²−y²) dA

1

Sztuczka: kwadrat całki 1D

Niech I = ∫e^(−x²)dx. Wtedy:

I² = ∫∫ e^(−x²−y²) dx dy
2

Zamiana na biegunowe

x²+y²=r², obszar ℝ² = r∈[0,∞), θ∈[0,2π]

3

Obliczenie

I² = ∫02π∫0∞ e^(−r²)·r dr dθ
= 2π · ½[−e^(−r²)]0∞
= 2π · ½ · 1 = π
4

Wniosek

I² = π → I = √π

Stąd: rozkład normalny, funkcja Γ(½)=√π

Całka Gaussa
∫−∞∞ e^(−x²) dx = √π

Porównanie układów współrzędnych

Tabela Jakobianów, strategia wyboru i nakładanie siatek

Strategia wyboru

Jak dopasować układ?

SymetriaDopasuj do geometrii obszaru
GraniceSzukaj stałych granic całkowania
x²+y²→ r² (biegunowe/walcowe)
x²+y²+z²→ ρ² (kuliste)
Mnemonika Jakobianów
Karto 2D:    1
Biegun:   × r
Karto 3D:   1
Walcowe: × r
Kuliste:   × ρ² sinφ
Widok siatek
UkładZmienneTransformacjaElement dV/dAKiedy?
Kartezjański 2D(x,y)iddx dyProstokąty
Biegunowy 2D(r,θ)x=rcosθ, y=rsinθr dr dθKoła, sektory
Kartezjański 3D(x,y,z)iddx dy dzProstopadłościany
Walcowy 3D(r,θ,z)+z=zr dr dθ dzWalce, stożki
Kulisty 3D(ρ,φ,θ)ρsinφcosθ,…ρ²sinφ dρdφdθKule, elipsoidy