Rachunek różniczkowy wielu zmiennych

Jedna zmienna miała pochodną — liczbę. Dwie zmienne mają gradient (wektor) i hesjan (macierz), a cała intuicja przenosi się na mapę poziomic: gradient jest do niej prostopadły i wskazuje najszybszy wzrost. Wszystkie pochodne w tym module są liczone analitycznie, nie różnicowo — wzory sprawdzono względem różnic skończonych.

∇f

Gradient

Pochodne cząstkowe, prostopadłość do poziomic, pochodna kierunkowa

∇f = (∂f/∂x, ∂f/∂y)
LINEARYZACJA

Płaszczyzna styczna

Różniczka zupełna jako najlepsze przybliżenie liniowe

z = f₀ + fₓΔx + f_yΔy
D = fxxfyy − fxy²

Hesjan i ekstrema

Minimum, maksimum, siodło — i kiedy test drugiej pochodnej zawodzi

H = [[fₓₓ,fₓᵧ],[fₓᵧ,f_yy]]
∇f = λ∇g

Mnożniki Lagrange'a

Ekstremum na więzach = punkt styczności poziomicy z krzywą

max f przy g(x,y)=0
wnętrze + brzeg

Ekstrema na zbiorze

Pełna procedura szukania wartości największej i najmniejszej na zbiorze domkniętym — z kontrolą przez przegląd zupełny

max f na D = max(kandydaci)
F(x,y)=0

Funkcja uwikłana

Kiedy z równania da się wyliczyć y(x) — i gdzie twierdzenie przestaje działać

dy/dx = −Fₓ/F_y
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Pełne rachunki: ekstrema lokalne, Lagrange, funkcja uwikłana

3 rozwiązane zadania

Gradient i pochodna kierunkowa

∇f(x₀,y₀) jest prostopadły do poziomicy przechodzącej przez ten punkt i wskazuje kierunek najszybszego wzrostu. Jego długość to tempo tego wzrostu.
D_u f = ∇f · u = |∇f| cos θ
∂f/∂x
–
∂f/∂y
–
D_θ f (pochodna kierunkowa) –
poziomice + ∇f
D_θ f w funkcji θ

Płaszczyzna styczna i różniczka

Różniczkowalność w punkcie znaczy: istnieje płaszczyzna, której błąd przybliżenia maleje szybciej niż odległość od punktu.
L(x,y) = f₀ + fₓ·Δx + f_y·Δy
f − L = o(√(Δx²+Δy²))
max |f − L| na kole o promieniu Δ –
powierzchnia + płaszczyzna styczna
błąd |f − L| w funkcji Δ (skala log)

Hesjan i klasyfikacja punktów krytycznych

W punkcie krytycznym (∇f = 0) o typie decyduje wyznacznik hesjanu:
D = fₓₓ·f_yy − fₓᵧ²

D>0, fₓₓ>0 → minimum
D>0, fₓₓ<0 → maksimum
D<0 → siodło
D=0 → test nie rozstrzyga
HESJAN W (x₀,y₀)
–
–
–
–
–
poziomice, punkty krytyczne i ich typ

Mnożniki Lagrange'a

Szukamy ekstremum f na krzywej g(x,y)=0. W punkcie ekstremum poziomica f jest styczna do więzu — a skoro oba gradienty są prostopadłe do swoich krzywych, muszą być równoległe.
∇f = λ·∇g, g(x,y) = 0
max f na więzie–
min f na więzie–
poziomice f, więz g=0, punkty styczności

Wartość największa i najmniejsza na zbiorze

Funkcja ciągła na zbiorze domkniętym i ograniczonym zawsze osiąga kres górny i dolny (twierdzenie Weierstrassa). Procedura jest zawsze ta sama: 1) punkty krytyczne wewnątrz zbioru, 2) ekstrema na brzegu, 3) porównanie wartości. Hesjan tu nie wystarcza — ekstremum globalne bardzo często leży na brzegu, gdzie gradient wcale nie znika.
wartość największa–
wartość najmniejsza–
poziomice f, zbiór D, kandydaci z wnętrza i z brzegu

Twierdzenie o funkcji uwikłanej

Jeśli F(x₀,y₀)=0 i ∂F/∂y ≠ 0, to w otoczeniu (x₀,y₀) równanie F(x,y)=0 wyznacza jednoznacznie funkcję y=y(x), różniczkowalną, o pochodnej:
dy/dx = −Fₓ / F_y
∂F/∂x
–
∂F/∂y
–
dy/dx = −Fₓ/F_y–
krzywa uwikłana, styczne i punkty osobliwe

Przykład 1 — ekstrema lokalne f(x,y) = x³ − 3xy²

Znajdź i sklasyfikuj punkty krytyczne funkcji f(x,y) = x³ − 3xy² (tzw. małpie siodło).

1. Pochodne cząstkowe: fₓ = 3x² − 3y², f_y = −6xy.
2. Układ ∇f = 0: z drugiego równania xy = 0, więc x=0 lub y=0.
   • x=0 → z pierwszego −3y²=0 → y=0.
   • y=0 → z pierwszego 3x²=0 → x=0.
   Jedyny punkt krytyczny: (0,0).
3. Drugie pochodne: fₓₓ = 6x, f_yy = −6x, fₓᵧ = −6y. W (0,0) wszystkie są zerem.
4. D = fₓₓf_yy − fₓᵧ² = 0·0 − 0² = 0 — test drugiej pochodnej nie rozstrzyga.
5. Rozstrzygamy bezpośrednio. Wzdłuż osi y=0: f(x,0)=x³, zmienia znak przy przejściu przez 0. Skoro w dowolnie małym otoczeniu (0,0) funkcja przyjmuje wartości dodatnie (x>0) i ujemne (x<0), to nie ma tam ani minimum, ani maksimum — jest to punkt siodłowy (zdegenerowany).
6. Uwaga na nazwę: we współrzędnych biegunowych f = r³cos3θ, więc wokół (0,0) są trzy „doliny" i trzy „grzbiety" — stąd „małpie siodło" (miejsce na dwie nogi i ogon).

Przykład 2 — mnożniki Lagrange'a: max f = x² − y² na okręgu x² + y² = 9/4

1. Funkcja więzu: g(x,y) = x² + y² − 9/4 = 0 (okrąg o promieniu r = 3/2).
2. Gradienty: ∇f = (2x, −2y), ∇g = (2x, 2y).
3. Układ ∇f = λ∇g: 2x = λ·2x oraz −2y = λ·2y.
4. Z pierwszego: x(1−λ)=0, z drugiego: y(1+λ)=0.
   • λ=1 → y=0 → z więzu x = ±3/2. Punkty (±3/2, 0), f = 9/4.
   • λ=−1 → x=0 → z więzu y = ±3/2. Punkty (0, ±3/2), f = −9/4.
   • x=y=0 nie leży na więzie — odpada.
5. Wniosek: max f = 9/4 = 2,25 w (±3/2, 0), min f = −9/4 w (0, ±3/2).
6. Kontrola geometryczna: poziomice x²−y²=c to hiperbole; przy c = ±9/4 stają się styczne do okręgu dokładnie w tych czterech punktach — dokładnie to widać na zakładce „Mnożniki Lagrange'a" (wpisz r = 1,5 i wybierz f = x²−y²; aplikacja liczy te wartości niezależnie, skanując więz).

Przykład 3 — funkcja uwikłana: styczna do x³ + y³ = 3xy (liść Kartezjusza)

Wyznacz dy/dx w punkcie (3/2, 3/2) oraz znajdź punkty, w których twierdzenie o funkcji uwikłanej nie stosuje się.

1. F(x,y) = x³ + y³ − 3xy. Sprawdzenie: (3/2)³+(3/2)³−3·(3/2)(3/2) = 27/8+27/8−27/4 = 0 ✓ punkt leży na krzywej.
2. Pochodne: Fₓ = 3x² − 3y, F_y = 3y² − 3x.
3. W punkcie (3/2, 3/2): Fₓ = 3·9/4 − 9/2 = 27/4 − 18/4 = 9/4, F_y = 9/4 (z symetrii).
4. F_y = 9/4 ≠ 0, więc twierdzenie działa i dy/dx = −Fₓ/F_y = −(9/4)/(9/4) = −1. Styczna w tym punkcie jest równoległa do prostej y = −x — to najdalszy od początku punkt pętli.
5. Gdzie twierdzenie zawodzi: F_y = 0 ⇔ y² = x. Podstawiając do F = 0: x³ + x^{3/2}·… — wygodniej rozwiązać układ {y²=x, x³+y³=3xy}. Daje to x = 0 (punkt (0,0)) oraz x = ∛4, y = ∛2, czyli punkt (∛4, ∛2) ≈ (1,587; 1,260), gdzie styczna jest pionowa.
6. W (0,0) zerują się obie pochodne (Fₓ = F_y = 0) — to punkt osobliwy, w którym krzywa przecina samą siebie. Żadna z dwóch gałęzi nie jest wykresem funkcji y(x) w otoczeniu tego punktu; na zakładce „Funkcja uwikłana" jest on zaznaczony na czerwono.