Rachunek wektorowy

Pola wektorowe, dywergencja i rotacja, całki krzywoliniowe i powierzchniowe, oraz trzy wielkie twierdzenia spinające analizę wektorową w jedną całość: Green, Stokes, Gauss-Ostrogradski.

PODSTAWY

Pola wektorowe

Źródła, wiry, pola potencjalne — F(x,y) jako siatka strzałek

F = (P(x,y), Q(x,y))
OPERATORY

Dywergencja i rotacja

Mapy „siły źródła" i „siły wirowania" dla wybranego pola

div F = ∂P/∂x + ∂Q/∂y
PRACA

Całki krzywoliniowe

Praca pola wzdłuż drogi, niezależność od drogi dla pól potencjalnych

∫_C F·dr
2D

Twierdzenie Greena

Krążenie po brzegu = całka podwójna z rotacji, animowane na żywo

∮_C P dx+Q dy = ∬_D (Q_x−P_y) dA
3D

Twierdzenie Stokesa

Krążenie po brzegu = strumień rotacji — ta sama odpowiedź dla dwóch różnych powierzchni

∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·dS
3D

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

Strumień przez zamkniętą powierzchnię = całka objętościowa z dywergencji

∬_S F·dS = ∭_V div F dV
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Pełne wyliczenia dla każdego z trzech twierdzeń

Green · Stokes · Gauss
Każda zakładka mieści się w jednym oknie ekranu · suwaki aktualizują wykresy na żywo · zaprojektowano pod projektor sali wykładowej

Pola wektorowe

Pole wektorowe przypisuje każdemu punktowi płaszczyzny wektor F(x,y)=(P,Q). Strzałki pokazują kierunek i (przez kolor) długość wektora w danym punkcie.

F = (x, y)
Kolor strzałki koduje jej długość (|F|) — czerwień to silne pole, błękit to słabe. Kliknij na siatkę, aby zobaczyć linię strumienia (streamline) startującą z tego punktu.
kliknij, aby dodać linię strumienia

Dywergencja i rotacja

Dywergencja mierzy, jak bardzo dany punkt jest „źródłem" (dodatnia) lub „ściekiem" (ujemna). Rotacja (tu: jej składowa z, skalar w 2D) mierzy lokalne wirowanie pola.

F = (x, y)
div F (stała dla tego pola)
2
rot F = ∂Q/∂x − ∂P/∂y
0
Wszystkie pola na tej liście mają stałą dywergencję i rotację — dlatego mapy kolorów po prawej są jednolite. Spróbuj pola „siodło" — wygląda skomplikowanie, ale div i rot są wszędzie zerowe.
dywergencja
rotacja

Całki krzywoliniowe

Całka ∫_C F·dr sumuje pracę wykonaną przez pole wzdłuż drogi C. Dla pola potencjalnego wynik zależy tylko od punktów końcowych — dla pozostałych zależy też od kształtu drogi.

∫_C F·dr (A→B)
—
Wybierz „Wir" i przełączaj drogi — wynik się zmienia mimo tych samych punktów A i B: pole nie jest potencjalne.

Twierdzenie Greena

∮_C P dx + Q dy = ∬_D (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA

Krążenie pola po brzegu obszaru D równa się całce podwójnej z rotacji po wnętrzu D. Poniżej: okrąg o promieniu R jako brzeg C.

Lewa strona: ∮_C F·dr
—
Prawa strona: ∬_D rot F dA
—

Twierdzenie Stokesa

∮_C F·dr = ∬_S (∇×F)·dS

Krążenie po brzegu C = strumień rotacji przez dowolną powierzchnię S rozpiętą na C. Poniżej to samo pole F=(−y,x,0), ten sam brzeg — dwie różne powierzchnie, ten sam wynik.

Krążenie: ∮_C F·dr
—
Strumień rot F przez S
—

Twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego

∬_S F·dS = ∭_V div F dV

Strumień pola przez zamkniętą powierzchnię S równa się całce z dywergencji po całej bryle V, którą S otacza. Poniżej: pole radialne F=(x,y,z) i sfera o promieniu R.

Strumień: ∬_S F·dS
—
∭_V div F dV = 3·(4/3)πR³
—
Na sferze F=(x,y,z) jest zawsze prostopadłe do powierzchni i ma długość R — dlatego strumień to po prostu R razy pole powierzchni sfery.

1. Twierdzenie Greena — praca pola wiru po okręgu

Pole: F = (−y, x), brzeg C: okrąg o promieniu R, x²+y²=R².
rot F = ∂Q/∂x − ∂P/∂y = 1 − (−1) = 2 (stała).
Prawa strona: ∬_D 2 dA = 2·(pole koła) = 2πR².
Lewa strona: r(t)=(Rcos t, Rsin t), r'(t)=(−Rsin t, Rcos t), t∈[0,2π].
F(r(t))·r'(t) = (−Rsin t)(−Rsin t) + (Rcos t)(Rcos t) = R²sin²t + R²cos²t = R².
∮_C F·dr = ∫₀^(2π) R² dt = 2πR². ✓ Obie strony się zgadzają.

2. Twierdzenie Stokesa — ten sam wynik dla dwóch powierzchni

Pole: F = (−y, x, 0), ∇×F = (0, 0, 2). Brzeg C: okrąg x²+y²=R² w płaszczyźnie z=0.
Płaski dysk S (normalna (0,0,1)): ∬_S (∇×F)·dS = ∬_S 2 dS = 2·πR² = 2πR².
Półkula S (x=Rsinφcosθ, y=Rsinφsinθ, z=Rcosφ, φ∈[0,π/2]): normalna zewnętrzna to (sinφcosθ, sinφsinθ, cosφ),
(∇×F)·n̂ = 2cosφ, dS = R²sinφ dφdθ.
∬_S 2cosφ·R²sinφ dφdθ = 2πR²·∫₀^(π/2) 2sinφcosφ dφ = 2πR²·[sin²φ]₀^(π/2) = 2πR².
Ten sam wynik dla dwóch zupełnie różnych powierzchni — liczy się tylko brzeg.

3. Twierdzenie Gaussa — strumień przez sferę

Pole: F = (x, y, z), div F = 1+1+1 = 3 (stała). V: kula o promieniu R.
Prawa strona: ∭_V 3 dV = 3·(4/3)πR³ = 4πR³.
Lewa strona: na sferze wektor położenia (x,y,z) ma długość R i jest równoległy do normalnej n̂,
więc F·n̂ = R wszędzie na S (stałe!). ∬_S F·dS = R·(pole sfery) = R·4πR² = 4πR³. ✓