Rozmaitość to przestrzeń, która lokalnie wygląda jak ℝⁿ, choć globalnie może wyglądać zupełnie inaczej. Cała trudność i całe piękno tej teorii siedzi w słowie „lokalnie”: sfery nie da się pokryć jedną mapą, a mimo to da się na niej uprawiać analizę. Moduł prowadzi od map i atlasu, przez krzywiznę — która jest wewnętrzna, czyli mierzalna bez wychodzenia z powierzchni — po formy różniczkowe i twierdzenie Stokesa. Każdy wynik jest tu policzony numerycznie z definicji i zestawiony ze wzorem.
Rzut stereograficzny, mapa przejścia jako inwersja i dowód, że jedna mapa sferze nie wystarczy
Formy podstawowe liczone różnicowo, powierzchnie minimalne i całka Gaussa-Bonneta
Symbole Christoffela z samej metryki; niezmiennik Clairauta jako kontrola całkowania
Różniczka zewnętrzna, twierdzenie Stokesa i dlaczego forma zamknięta nie musi być dokładna
Atlas sfery, krzywizna torusa z definicji, forma kątowa na płaszczyźnie z dziurą
Zadanie. Wykazać, że S² nie da się pokryć jedną mapą, i skonstruować atlas z dwóch map wraz z mapą przejścia.
Krok 1 — argument topologiczny. Mapa to homeomorfizm na otwarty podzbiór ℝ². Gdyby istniała jedna mapa na całą S², to S² byłaby homeomorficzna z otwartym podzbiorem ℝ². Ale S² jest zwarta, a jej obraz — jako ciągły obraz zbioru zwartego — też byłby zwarty, czyli domknięty i ograniczony. Jedyny podzbiór ℝ² jednocześnie otwarty i domknięty to ∅ i całe ℝ², a ℝ² nie jest ograniczone. Sprzeczność.
Krok 2 — rzut stereograficzny. Prosta przez biegun N = (0,0,1) i punkt p = (x,y,z) ≠ N przecina płaszczyznę z = 0 w punkcie
Odwrotność: dla w = (w₁,w₂) i d = 1 + w₁² + w₂²
Sprawdzenie, że wynik leży na sferze: (2w₁)² + (2w₂)² + (d−2)² = 4(d−1) + d² − 4d + 4 = d², a po podzieleniu przez d² daje 1 ✓.
Krok 3 — druga mapa i przejście. φS(x,y,z) = (x/(1+z), y/(1+z)) jest określona na S²∖{S}. Razem pokrywają całość. Złóżmy je: dla w = φN(p) zachodzi |w|² = (x²+y²)/(1−z)² = (1−z²)/(1−z)² = (1+z)/(1−z), więc
Krok 4 — gładkość. Odwzorowanie w ↦ w/|w|² jest gładkie na ℝ²∖{0}, a to dokładnie obraz części wspólnej obu map (w = 0 odpowiadałoby biegunowi południowemu, którego φS nie obejmuje). Atlas jest zatem gładki, a S² — rozmaitością różniczkową.
W aplikacji: zakładka Mapy i atlas mierzy oba złożenia numerycznie; przy θ → 0 (punkt zbliża się do bieguna północnego) wartość |φN(P)| rośnie nieograniczenie — widać dokładnie ten punkt, którego mapa nie obejmuje.
Zadanie. Policzyć K dla torusa X(u,v) = ((c + a cos u)cos v, (c + a cos u)sin v, a sin u) i sprawdzić, że ∬K dA = 0.
Krok 1 — pierwsza forma. Różniczkując: Xu = (−a sin u cos v, −a sin u sin v, a cos u), Xv = (−(c + a cos u) sin v, (c + a cos u) cos v, 0). Stąd
Wektor normalny: n = (cos u cos v, cos u sin v, sin u) — jednostkowy, skierowany na zewnątrz tuby.
Krok 2 — druga forma. Xuu = −a(cos u cos v, cos u sin v, sin u), więc L = Xuu·n = −a. Dalej M = 0 (z symetrii) oraz N = Xvv·n = −(c + a cos u)cos u.
Krok 3 — krzywizna.
Interpretacja znaku. Dla u ∈ (−π/2, π/2) — zewnętrzna strona tuby — cos u > 0, więc K > 0 (powierzchnia wygina się jak sfera). Dla u ∈ (π/2, 3π/2) — wewnętrzna strona, przy „dziurce” — K < 0 (siodło). Na dwóch okręgach u = ±π/2 krzywizna zeruje się: to najwyższy i najniższy równoleżnik torusa.
Krok 4 — całka. Element pola to dA = √(EG − F²) du dv = a(c + a cos u) du dv, więc iloczyn K·dA cudownie się upraszcza:
Zgadza się z Gaussem-Bonnetem: χ(torus) = 0, więc 2πχ = 0. Dodatnia krzywizna zewnętrznej strony dokładnie kompensuje ujemną krzywiznę wewnętrznej — i to nie zależy ani od a, ani od c.
W aplikacji: zakładka Krzywizna Gaussa liczy K z form podstawowych różnicowo, więc zgodność ze wzorem wyżej (rzędu 10⁻⁷) jest niezależnym potwierdzeniem rachunku, a wiersz Gaussa-Bonneta pokazuje całkę zbiegającą do zera przy zagęszczaniu siatki.
Zadanie. Zbadać formę ω = (−y dx + x dy)/(x² + y²) na ℝ²∖{0}.
Krok 1 — czy jest zamknięta. P = −y/(x²+y²), Q = x/(x²+y²):
Różnica jest zerem, więc dω = 0 — forma jest zamknięta wszędzie poza początkiem układu.
Krok 2 — całka po okręgu. Na okręgu x = R cos t, y = R sin t mamy dx = −R sin t dt, dy = R cos t dt, x² + y² = R²:
Krok 3 — wniosek. Gdyby ω = df dla pewnej funkcji f gładkiej na całym ℝ²∖{0}, to całka po krzywej zamkniętej musiałaby wynosić f(koniec) − f(początek) = 0. Wyszło 2π, więc ω nie jest dokładna. Zamkniętość nie wystarcza.
Krok 4 — dlaczego. Lokalnie ω = d(arg(x,y)) — kąt biegunowy jest jej potencjałem. Ale kąt nie da się określić jako funkcja jednoznaczna i ciągła na całym pierścieniu: po pełnym obiegu przyrasta o 2π. Przeszkodą jest dziura w dziedzinie. Na dowolnym zbiorze jednospójnym (np. na półpłaszczyźnie x > 0) forma już jest dokładna, bo tam arctg(y/x) jest porządną funkcją.
Iloraz {formy zamknięte}/{formy dokładne} to pierwsza grupa kohomologii de Rhama; tutaj H¹(ℝ²∖{0}) ≅ ℝ, a liczba 2π jest generatorem tej klasy. Analiza wykryła topologię dziedziny — to jest sedno całej teorii.
W aplikacji: zakładka Formy różniczkowe, ustawienie kątowa: wiersz „max |dω|” pokazuje zero, a mimo to całka po brzegu wynosi 2π i nie zgadza się z całką po wnętrzu — bo twierdzenie Stokesa nie ma prawa działać, gdy forma nie jest określona w całym obszarze.