Matematyka finansowa i aktuarialna

Cała matematyka finansowa wyrasta z jednego zdania: złotówka dziś i złotówka za rok to dwie różne wielkości. Reszta to konsekwencje — dyskontowanie, wycena bez arbitrażu, miara martyngałowa. Aktuariat dokłada drugie zdanie: szkody przychodzą w losowych momentach i mają losową wielkość. Każdy wynik jest tu podany dwa razy — raz ze wzoru, raz z symulacji albo z drzewa — bo w tej dziedzinie zgodność dwóch metod jest jedynym dostępnym dowodem poprawności implementacji.

(1+r/m)^m → e^r

Wartość pieniądza w czasie

Kapitalizacja, stopa efektywna, renta i harmonogram spłaty kredytu policzony ratą po racie

PV = R(1−(1+i)⁻ⁿ)/i

q = (e^rΔt−d)/(u−d)

Model dwumianowy (CRR)

Wycena bez arbitrażu przez replikację; opcja amerykańska i premia za wczesne wykonanie

V = e^−rΔt[qV_u + (1−q)V_d]

C = SN(d₁) − Ke^−rTN(d₂)

Black-Scholes i greki

Wzór, greki sprawdzone różnicowo, parytet kupna-sprzedaży i wycena Monte Carlo

Δ = N(d₁)

ψ(u) ≤ e^−Ru

Ryzyko ruiny

Model Craméra-Lundberga: kiedy narzut bezpieczeństwa naprawdę chroni ubezpieczyciela

ψ(u) = e^−Ru/(1+θ)

ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Replikacja jednookresowa, wycena opcji z tablic, składka a prawdopodobieństwo ruiny

3 rozwiązane zadania

Wartość pieniądza w czasie

Przy nominalnej stopie r kapitalizowanej m razy w roku kapitał rośnie jak (1 + r/m)^mt. Zwiększając częstość, przechodzimy do granicy:

lim_m→∞ (1 + r/m)^m = e^r ⇒ kapitalizacja ciągła: P·e^rt

Stopa efektywna (1+r/m)^m − 1 to jedyna liczba, którą wolno porównywać między ofertami. Renta o stałej racie R przez n okresów jest warta dziś R·(1 − (1+i)⁻ⁿ)/i — poniżej ta suma szeregu geometrycznego jest zestawiona z sumowaniem rata po racie.

kapitał / kwota kredytu P 300000 zł

nominalna stopa roczna r 6.00%

kapitalizacji rocznie m 12

liczba rat n 360 (miesięcznych)

stopa efektywna (1+r/m)^m − 1–

stopa miesięczna i (z tej samej kapitalizacji)–

granica ciągła e^r − 1 / różnica–

rata kredytu–

saldo po ostatniej racie (kontrola)–

suma odsetek / (suma rat − kapitał)–

PV rat: szereg kontra wzór na rentę–

harmonogram: podział raty na odsetki i kapitał

wzrost kapitału: różne częstości kapitalizacji

Model dwumianowy Coxa-Rossa-Rubinsteina

W jednym kroku cena idzie w górę o czynnik u albo w dół o d. Budując portfel z Δ akcji i gotówki tak, by odtworzyć wypłatę opcji, dostajemy cenę bez żadnych założeń o prawdopodobieństwie wzrostu:

V = e^−rΔt[ qV_u + (1−q)V_d ], q = (e^rΔt − d)/(u − d)

Wielkość q nazywa się prawdopodobieństwem martyngałowym: nie jest rzeczywistym prawdopodobieństwem, tylko wagą wymuszoną przez brak arbitrażu. Warunek d < e^rΔt < u jest równoważny q ∈ (0,1) — gdy przestaje zachodzić, model dopuszcza zysk bez ryzyka. Przy u = e^σ√Δt, d = 1/u i n → ∞ cena zbiega do wzoru Blacka-Scholesa.

cena bieżąca S 42.0

cena wykonania K 40.0

stopa wolna od ryzyka r 10.0%

zmienność σ 20.0%

czas do wykupu T 0.50 roku

liczba kroków n 25

cena z drzewa (europejska)–

Black-Scholes / różnica–

cena amerykańska / premia za wcześniejsze wykonanie–

q, u, d–

portfel replikujący w kroku 0: Δ akcji + gotówka–

drzewo cen (kolor = wartość opcji, ▲ = opłaca się wykonać wcześniej)

zbieżność do Blacka-Scholesa w funkcji n

Wzór Blacka-Scholesa i greki

C = S·N(d₁) − K e^−rT·N(d₂), d₁ = [ln(S/K) + (r + σ²/2)T]/(σ√T), d₂ = d₁ − σ√T

Parytet kupna-sprzedaży C − P = S − Ke^−rT nie wymaga żadnego modelu — wynika z porównania dwóch portfeli o identycznej wypłacie, więc jest bezwzględnym testem poprawności implementacji. Greki to pochodne ceny: Δ = ∂C/∂S (ile akcji trzeba trzymać, żeby się zabezpieczyć), Γ = ∂²C/∂S², vega = ∂C/∂σ. Poniżej każda z nich jest porównana z pochodną policzoną różnicowo.

cena bieżąca S 100.0

cena wykonania K 95.0

stopa r 4.00%

zmienność σ 25.0%

czas do wykupu T 0.75 roku

ścieżek Monte Carlo 100000

C / P ze wzoru–

parytet: C − P kontra S − Ke^−rT–

Monte Carlo ± 95% / odchyłka od wzoru–

max |greka wzór − różnicowo|–

Δ, Γ, vega, theta, rho–

cena opcji i wypłata w terminie w funkcji S

Δ i Γ w funkcji S — zabezpieczenie i jego wrażliwość

Model ruiny Craméra-Lundberga

Kapitał ubezpieczyciela to U(t) = u + ct − S(t), gdzie u to rezerwa początkowa, c — tempo wpływu składek, a S(t) — suma szkód napływających w procesie Poissona o intensywności λ. Przy składce z narzutem bezpieczeństwa θ, czyli c = (1+θ)·λ·E[X], i szkodach wykładniczych o średniej 1/β prawdopodobieństwo ruiny kiedykolwiek ma postać zamkniętą:

ψ(u) = (1/(1+θ))·e^−Ru, R = θβ/(1+θ)

R to współczynnik dopasowania (Lundberga). Kluczowa obserwacja: przy θ ≤ 0 mamy R ≤ 0 i ψ(u) = 1 dla każdego u — ruina jest pewna niezależnie od wielkości rezerwy. Poniżej wzór jest zestawiony z bezpośrednią symulacją procesu.

rezerwa początkowa u 5.0 (w jednostkach średniej szkody)

narzut bezpieczeństwa θ 0.30

intensywność szkód λ 1.00 /rok

symulacji 20000

ziarno losowe 3

ψ(u): zmierzone / wzór–

współczynnik Lundberga R–

oszacowanie Lundberga e^−Ru (górne)–

składka c / oczekiwane szkody λE[X]–

rezerwa dająca ψ = 1%–

przykładowe trajektorie kapitału — czerwone kończą się ruiną

ψ(u): symulacja, wzór dokładny i oszacowanie Lundberga

Przykłady krok po kroku

Przykład 1 Replikacja i wycena w jednym okresie

Zadanie. Akcja kosztuje dziś S = 100. Za rok będzie warta 120 albo 90. Stopa wolna od ryzyka r = 5% (kapitalizacja ciągła). Ile jest warta opcja kupna z ceną wykonania K = 105?

Krok 1 — wypłaty opcji. V_u = max(120 − 105, 0) = 15, V_d = max(90 − 105, 0) = 0.

Krok 2 — portfel replikujący. Kupujemy Δ akcji i pożyczamy B (gotówka o wartości dzisiejszej B rośnie do Be^r). Żądamy, by portfel dał tę samą wypłatę w obu stanach:

120Δ + Be^0,05 = 15
90Δ + Be^0,05 = 0

Odejmując: 30Δ = 15, więc Δ = 0,5. Z drugiego równania: Be^0,05 = −45, czyli B = −45e^−0,05 = −42,806 (pożyczka).

Krok 3 — cena z braku arbitrażu. Portfel i opcja mają identyczne wypłaty w każdym możliwym stanie, więc muszą kosztować dziś tyle samo:

C = ΔS + B = 0,5·100 − 42,806 = 7,194

Krok 4 — to samo przez prawdopodobieństwo martyngałowe. u = 1,2, d = 0,9:

q = (e^0,05 − 0,9)/(1,2 − 0,9) = (1,051271 − 0,9)/0,3 = 0,504171
C = e^−0,05[0,504171·15 + 0,495829·0] = 0,951229·7,562570 = 7,194

Dlaczego rzeczywiste prawdopodobieństwo nie występuje. W kroku 3 nie padło ani słowo o tym, jak prawdopodobny jest wzrost. Portfel replikujący działa w każdym scenariuszu z osobna, więc rzeczywiste prawdopodobieństwa nie mają na co wpłynąć. Liczba q to tylko przepisanie tego samego rachunku — pojawia się, bo jest jedyną wagą, przy której zdyskontowana cena akcji jest martyngałem: e^−r(120q + 90(1−q)) = 100.

W aplikacji: zakładka Model dwumianowy, wiersz „portfel replikujący w kroku 0” pokazuje Δ i gotówkę dla dowolnych parametrów; przy n = 1 odtwarza dokładnie ten rachunek.

Przykład 2 Wycena opcji wzorem Blacka-Scholesa

Zadanie. S = 42, K = 40, r = 10%, σ = 20%, T = 0,5 roku. Wyceń opcję kupna i sprzedaży.

Krok 1 — d₁ i d₂. ln(42/40) = ln 1,05 = 0,048790, σ√T = 0,2·0,707107 = 0,141421:

d₁ = [0,048790 + (0,10 + 0,02)·0,5] / 0,141421 = 0,108790/0,141421 = 0,769287
d₂ = 0,769287 − 0,141421 = 0,627866

Krok 2 — odczyt dystrybuanty. N(0,769287) = 0,779130, N(0,627866) = 0,734857.

Krok 3 — podstawienie. Ke^−rT = 40·e^−0,05 = 40·0,951229 = 38,049177:

C = 42·0,779130 − 38,049177·0,734857 = 32,723452 − 27,964030 = 4,759422

Krok 4 — put z parytetu, bez ponownego liczenia dystrybuanty.

P = C − S + Ke^−rT = 4,759422 − 42 + 38,049177 = 0,808599

Sprawdzenie sensowności. Wartość wewnętrzna opcji kupna to 42 − 40 = 2; reszta, czyli 2,76, to wartość czasowa. Opcja sprzedaży jest „poza pieniądzem” (S > K), więc jej wartość wewnętrzna wynosi 0 i cała cena 0,81 to wartość czasowa. Suma tych dwóch cen musi się zgadzać z parytetem — i zgadza się co do ostatniej cyfry.

W aplikacji: zakładka Black-Scholes. Ustaw dokładnie te parametry przyciskiem „przykład 2” — wiersz parytetu pokaże zgodność rzędu 10⁻¹⁵, a Monte Carlo na 10⁶ ścieżkach trafi w 4,759 ± 0,01.

Przykład 3 Ile rezerwy potrzebuje ubezpieczyciel

Zadanie. Szkody napływają z intensywnością λ = 1 rocznie, ich wielkość ma rozkład wykładniczy o średniej 1 (czyli β = 1). Składka zawiera narzut θ = 30%. Jaka rezerwa początkowa u daje prawdopodobieństwo ruiny poniżej 1%?

Krok 1 — składka. c = (1+θ)·λ·E[X] = 1,3·1·1 = 1,3 rocznie, przy oczekiwanych szkodach 1,0 rocznie.

Krok 2 — współczynnik Lundberga. Dla szkód wykładniczych R jest dodatnim pierwiastkiem równania λ(M_X(R) − 1) = cR, gdzie M_X(s) = β/(β−s). Podstawiając:

λ·(β/(β−R) − 1) = cR ⇒ λR/(β−R) = cR ⇒ R = β − λ/c

R = 1 − 1/1,3 = 1 − 0,769231 = 0,230769 = θβ/(1+θ) ✓

Krok 3 — wzór dokładny. Dla szkód wykładniczych zachodzi równość, nie tylko oszacowanie:

ψ(u) = (1/(1+θ))·e^−Ru = 0,769231·e^−0,230769u

Krok 4 — rozwiązanie nierówności ψ(u) ≤ 0,01.

e^−0,230769u ≤ 0,013 ⇒ u ≥ ln(76,923)/0,230769 = 4,342806/0,230769 = 18,82

Potrzeba więc rezerwy równej niemal 19 średnim szkodom — mimo 30% narzutu.

Krok 5 — co się dzieje bez narzutu. Dla θ = 0 mamy R = 0, więc ψ(u) = 1 dla każdego u. To nie jest artefakt przybliżenia: przy składce równej oczekiwanym szkodom proces U(t) jest błądzeniem losowym o zerowym dryfie, a takie błądzenie z prawdopodobieństwem 1 zejdzie kiedyś poniżej dowolnego poziomu. Uczciwa składka gwarantuje bankructwo — i to jest matematyczne uzasadnienie istnienia narzutu bezpieczeństwa.

W aplikacji: zakładka Ryzyko ruiny, wiersz „rezerwa dająca ψ = 1%” liczy krok 4 dla dowolnych parametrów; przesunięcie θ poniżej zera natychmiast zmienia notatkę na ostrzeżenie z kroku 5.