Ciągi i szeregi liczbowe

Pierwszy poważny temat analizy matematycznej: co właściwie znaczy, że ciąg „dąży” do jakiejś liczby, i kiedy nieskończona suma ma sens. Cztery zakładki, każda z suwakami do samodzielnego eksperymentowania.

GRANICA CIĄGU

Ciągi

Definicja ε–N na żywo: pas wokół granicy i moment, w którym ciąg już z niego nie wychodzi

∀ε>0 ∃N: n>N ⇒ |aₙ−g|<ε
GRANICE CZĘŚCIOWE

Podciągi

Wybieranie co k-tego wyrazu i obserwacja, że ciąg rozbieżny może mieć kilka „ulubionych” granic

(a_{n_k}) — podciąg (aₙ)
SUMY CZĘŚCIOWE

Szeregi

Kiedy nieskończona suma jest liczbą skończoną — kryteria d'Alemberta i Cauchy'ego na żywo

Sₙ = a₁+a₂+…+aₙ
RIEMANN

Zbieżność bezwzględna

Szereg, którego suma zależy od kolejności dodawania — klasyczny paradoks szeregu anharmonicznego

Σ|aₙ| zbieżny ⇒ Σaₙ zbieżny

Granica ciągu

Ciąg (aₙ) jest zbieżny do g, jeśli od pewnego miejsca WSZYSTKIE dalsze wyrazy leżą dowolnie blisko g.

Formalnie: ∀ε>0 ∃N∈ℕ: n>N ⇒ |aₙ−g|<ε. Suwak ε zmienia szerokość pasa (g−ε, g+ε); suwak N pokazuje, ile wyrazów widać. Znajdź najmniejsze N, po którym ciąg już nie wychodzi z pasa.
n → aₙ

Podciągi i granice częściowe

Podciąg = wybieramy nieskończenie wiele wyrazów, zachowując kolejność. Jeśli (aₙ) ma granicę, ma ją też każdy jego podciąg — i to tę samą.

Ciąg rozbieżny może mieć podciągi zbieżne do różnych granic — nazywamy je granicami częściowymi. Wybierz „co k-ty wyraz, od pozycji offset” i sprawdź, czy podciąg ma granicę.
pełny ciąg (aₙ) wybrany podciąg
n → aₙ (podciąg wyróżniony)

Szeregi liczbowe

Szereg Σaₙ jest zbieżny, jeśli ciąg sum częściowych Sₙ=a₁+…+aₙ ma skończoną granicę.

Kryterium d'Alemberta: jeśli lim|aₙ₊₁/aₙ|=g, to g<1 ⇒ zbieżny bezwzględnie, g>1 ⇒ rozbieżny, g=1 ⇒ nierozstrzygnięte.
Kryterium Cauchy'ego: analogicznie dla lim ⁿ√|aₙ|. Uwaga: dla szeregu bazylejskiego oba kryteria dają g=1 (nie rozstrzygają!), mimo że szereg jest zbieżny — to normalne, wtedy potrzeba innego kryterium (np. porównawczego).
n → Sₙ

Zbieżność bezwzględna vs. warunkowa

Szereg jest zbieżny bezwzględnie, gdy zbieżne jest też Σ|aₙ|. Jest zbieżny warunkowo, gdy Σaₙ jest zbieżny, ale Σ|aₙ| — nie.

Kryterium Leibniza (szeregi naprzemienne): jeśli wyrazy bₙ>0 maleją monotonicznie do 0, to szereg naprzemienny Σ(−1)ⁿ⁺¹bₙ jest zbieżny. Dla bₙ=1/n oba warunki są spełnione — to dlatego szereg anharmoniczny poniżej w ogóle jest zbieżny, mimo że Σ|1/n| (szereg harmoniczny) jest rozbieżny. Właśnie ten kontrast — zbieżny jako całość, rozbieżny co do modułu — definiuje zbieżność warunkową i otwiera drzwi do zjawiska poniżej.
Twierdzenie Riemanna o przestawieniach: wyrazy szeregu zbieżnego warunkowo można tak przestawić (zmienić kolejność sumowania), by suma zmieniła się na dowolną zadaną liczbę. Poniżej: klasyczny szereg anharmoniczny Σ(−1)ⁿ⁺¹/n, przestawiony tak, by brać na przemian dwa wyrazy dodatnie i jeden ujemny.
oryginalna kolejność → ln 2 przestawiona (2 dodatnie, 1 ujemny) → 1,5·ln 2
To nie jest sztuczka numeryczna — to precyzyjny, znany wynik: przestawiając szereg zbieżny warunkowo, naprawdę zmieniamy jego sumę. Dowodzi to, że dla takich szeregów przemienność dodawania (a+b=b+a) nie przenosi się na nieskończone sumy.
liczba wyrazów → suma częściowa

Przykład 1 — kryterium d'Alemberta

Zbadaj zbieżność szeregu Σ_{n=1}^∞ n/2ⁿ.

1. Wyraz ogólny: aₙ = n/2ⁿ.
2. Liczymy iloraz kolejnych wyrazów: aₙ₊₁/aₙ = [(n+1)/2ⁿ⁺¹] · [2ⁿ/n] = (n+1)/(2n).
3. Granica: g = lim_{n→∞} (n+1)/(2n) = lim (1+1/n)/2 = 1/2.
4. Ponieważ g = 1/2 < 1, szereg jest zbieżny — i to bezwzględnie, bo wszystkie wyrazy są dodatnie (Σaₙ = Σ|aₙ|).

Przykład 2 — szereg arytmetyczno-geometryczny (metoda „S − xS”)

Oblicz sumę szeregu Σ_{n=0}^∞ (n+1)·(1/2)ⁿ = 1 + 2·½ + 3·¼ + 4·⅛ + …

1. Niech x=1/2 i S = 1 + 2x + 3x² + 4x³ + … (S — nasza niewiadoma).
2. Mnożymy obie strony przez x: xS = x + 2x² + 3x³ + …
3. Odejmujemy stronami: S − xS = 1 + x + x² + x³ + … — to zwykły szereg geometryczny o ilorazie x, więc S−xS = 1/(1−x).
4. Stąd S·(1−x) = 1/(1−x), czyli S = 1/(1−x)². Dla x=1/2: S = 1/(1/2)² = 4.

Przykład 3 — rozbieżność szeregu harmonicznego (dowód Oresme'a)

Udowodnij, że szereg harmoniczny Σ_{n=1}^∞ 1/n jest rozbieżny, mimo że aₙ=1/n→0.

1. Grupujemy wyrazy: 1 + ½ + (⅓+¼) + (⅕+⅙+⅐+⅛) + … — grupa numer k ma 2ᵏ wyrazów (k=0,1,2,…).
2. W grupie k najmniejszy wyraz to 1/2ᵏ⁺¹, a wyrazów jest 2ᵏ, więc suma tej grupy ≥ 2ᵏ · 1/2ᵏ⁺¹ = 1/2.
3. Grup jest nieskończenie wiele, a każda dokłada co najmniej 1/2 — suma częściowa rośnie nieograniczenie.
4. Zatem Σ1/n = +∞. To pokazuje, że aₙ→0 jest warunkiem koniecznym, ale NIE wystarczającym zbieżności szeregu.