Rachunek całkowy jednej zmiennej

Od prostokątów przybliżających pole pod krzywą, przez związek całkowania z różniczkowaniem, po techniki obliczania całek i ich zastosowania geometryczne.

DEFINICJA

Suma Riemanna

Prostokąty zagęszczające się do całki oznaczonej — lewa, prawa, środkowa

∫ₐᵇ f(x)dx = lim Sₙ
F'=f

Twierdzenie podstawowe

Pole pod krzywą jako funkcja górnej granicy — i dlaczego jej pochodna to znów f

d/dt ∫ₐᵗ f(x)dx = f(t)
METODY

Techniki całkowania

Przez części i przez podstawienie — na konkretnych przykładach z weryfikacją

∫u dv = uv − ∫v du
GRANICE

Całki niewłaściwe

Nieskończony przedział albo osobliwość — kiedy pole jest, a kiedy go nie ma

∫₁^∞ 1/x^p dx — zbieżna dla p>1
GEOMETRIA

Zastosowania

Pole między krzywymi, objętość bryły obrotowej, długość łuku

V = π∫f(x)² dx

Suma Riemanna

Całka oznaczona to granica sumy pól prostokątów, gdy ich liczba n→∞ (a szerokość →0) — niezależnie od tego, czy wysokość bierzemy z lewego, prawego czy środkowego punktu przedziału.
Suma Sₙ
—

Podstawowe twierdzenie rachunku różniczkowego i całkowego

Zdefiniujmy F(t) = ∫₀ᵗ f(x)dx (pole pod f od 0 do t). Twierdzenie mówi: F'(t) = f(t) — pochodna pola pod krzywą to sama krzywa. Przesuń t i patrz, jak nachylenie F(t) (dolny wykres) zawsze odpowiada wysokości f(t) (górny wykres).
F(t) = ∫₀ᵗf(x)dx
—
f(x) i zacieniowane pole
F(t) — pole jako funkcja t

Techniki całkowania

kontrola: max |F ze wzoru − F z całkowania|
—

Całki niewłaściwe

Wartość częściowa
—

Zastosowania geometryczne

Wynik
—

Przykład 1 — całkowanie przez części

Oblicz ∫x·ln(x) dx.

1. Wybieramy u=ln(x) (bo się upraszcza przy różniczkowaniu), dv=x dx.
2. Wtedy du = (1/x)dx, v = x²/2.
3. Wzór ∫u dv = uv − ∫v du: ∫x ln(x)dx = (x²/2)ln(x) − ∫(x²/2)·(1/x)dx = (x²/2)ln(x) − ∫(x/2)dx.
4. ∫(x/2)dx = x²/4, więc wynik: (x²/2)ln(x) − x²/4 + C. Sprawdzenie różniczkowaniem: d/dx[(x²/2)ln x − x²/4] = x·ln x + (x²/2)(1/x) − x/2 = x ln x + x/2 − x/2 = x ln x. ✓

Przykład 2 — pole między krzywymi

Oblicz pole obszaru między y=x i y=x² dla x∈[0,1].

1. Na [0,1] mamy x≥x² (sprawdzenie: dla x=0,5, x=0,5 a x²=0,25 — rzeczywiście x jest wyżej).
2. Pole = ∫₀¹ (x − x²)dx.
3. Całkujemy: ∫₀¹x dx − ∫₀¹x²dx = [x²/2]₀¹ − [x³/3]₀¹ = 1/2 − 1/3.
4. Pole = 1/2 − 1/3 = 1/6.

Przykład 3 — kryterium p dla całek niewłaściwych

Dla jakich p całka ∫₁^∞ 1/xᵖ dx jest zbieżna?

1. Dla p≠1: ∫₁^T x⁻ᵖ dx = [x^(1−p)/(1−p)]₁^T = (T^(1−p) − 1)/(1−p).
2. Jeśli p>1, to wykładnik 1−p<0, więc T^(1−p)→0 gdy T→∞. Granica: (0−1)/(1−p) = 1/(p−1) — zbieżna.
3. Jeśli p<1, to 1−p>0, więc T^(1−p)→∞ — rozbieżna.
4. Dla p=1: ∫₁^T (1/x)dx = ln(T) → ∞ — też rozbieżna. Podsumowanie: zbieżna dokładnie dla p>1 (dokładnie ten sam próg co dla szeregu Σ1/nᵖ — nieprzypadkowo, to kryterium całkowe).