Struktury algebraiczne

Te same wzorce (łączność, element neutralny, odwrotność) pojawiają się wszędzie w matematyce — od liczb całkowitych, przez macierze, po permutacje. Tabela działań (tabela Cayleya) pozwala zobaczyć strukturę grupy jak na dłoni.

TABELA CAYLEYA

Grupy

ℤₙ, S₃ i ℤₙ* — sprawdź aksjomaty, znajdź rząd elementu, zobacz nieprzemienność

(G,∘): łączność, e, a⁻¹
ℤₙ

Pierścienie i ciała

Dlaczego ℤₙ jest ciałem dokładnie wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą

pierścień + odwrotności = ciało
φ(a∘b)=φ(a)∘φ(b)

Homomorfizmy

Odwzorowanie zachowujące strukturę — i jego jądro

Ker(φ) = φ⁻¹(e)
G/H

Warstwy

Jak podgrupa dzieli całą grupę na równe, rozłączne kawałki

G = H ∪ (a+H) ∪ …
H ↔ Fix(H)

Odpowiedniość Galois

Krata podgrup odbita w kracie ciał pośrednich — obie policzone, nie wpisane z ręki

[G:H] = [Fix(H):ℚ]

Grupy i tabela Cayleya

ℤₙ jako pierścień (i czasem ciało)

Każde ℤₙ jest pierścieniem (dodawanie i mnożenie mod n, obie łączne, dodawanie przemienne, mnożenie rozdzielne względem dodawania). Jest ciałem dokładnie wtedy, gdy n jest liczbą pierwszą — bo tylko wtedy KAŻDY niezerowy element ma odwrotność mnożenia.

Homomorfizm φ: ℤₙ → ℤₘ

φ(k) = k mod m. To homomorfizm grup, bo φ(a+b) = φ(a)+φ(b) (w ℤₘ). Jądro Ker(φ) = elementy przechodzące na 0 — to zawsze podgrupa, tu: wielokrotności m w ℤₙ.
|Ker(φ)|
—

Warstwy podgrupy H w ℤₙ

Podgrupa H dzieli grupę ℤₙ na rozłączne warstwy tej samej wielkości |H|. Liczba warstw = [G:H] = n/|H| — same warstwy, z dodawaniem, tworzą grupę ilorazową G/H ≅ ℤ_{[G:H]}.
Liczba warstw [G:H]
—

Odpowiedniość Galois

Rozszerzeniu Galois L/ℚ odpowiada grupa G = Gal(L/ℚ) automorfizmów L nieruszających ℚ. Twierdzenie podstawowe mówi, że przyporządkowanie H ↦ Fix(H) (ciało elementów nieruszanych przez H) jest wzajemnie jednoznaczne i odwraca inkluzje: im większa podgrupa, tym mniejsze ciało. Stąd obie kraty poniżej są swoimi lustrzanymi odbiciami.

Przykład 1 — rzędy elementów w ℤ₅*

Sprawdź, że (ℤ₅*, ×) = ({1,2,3,4}, mnożenie mod 5) jest grupą i znajdź rząd każdego elementu.

1. Zamkniętość: iloczyn dowolnych dwóch elementów z {1,2,3,4} mod 5 zawsze daje element z {1,2,3,4} (nigdy 0, bo 5 jest pierwsze — żaden iloczyn liczb niepodzielnych przez 5 nie jest podzielny przez 5).
2. Rząd 1: 1¹=1 → rząd 1.
3. Rząd 2: 2¹=2, 2²=4, 2³=8mod5=3, 2⁴=16mod5=1 → rząd 4.
4. Rząd 3: 3¹=3, 3²=9mod5=4, 3³=27mod5=2, 3⁴=81mod5=1 → rząd 4. Rząd 4: 4¹=4, 4²=16mod5=1 → rząd 2.
Grupa jest cykliczna rzędu 4 — generują ją 2 i 3 (elementy rzędu 4).

Przykład 2 — jądro homomorfizmu φ:ℤ→ℤ₆

Pokaż, że φ(k) = k mod 6 jest homomorfizmem grup (ℤ,+)→(ℤ₆,+) i znajdź jego jądro.

1. Własność homomorfizmu: φ(a+b) = (a+b) mod 6 = (a mod 6 + b mod 6) mod 6 = φ(a)+φ(b) w ℤ₆. Zgadza się dla dowolnych a,b∈ℤ (standardowa własność arytmetyki modularnej).
2. Jądro: Ker(φ) = {k∈ℤ : φ(k)=0} = {k : 6 dzieli k} = {…,−12,−6,0,6,12,…} = 6ℤ.
3. To podgrupa ℤ (wielokrotności 6 są zamknięte na dodawanie i branie elementu przeciwnego).
4. Twierdzenie o izomorfizmie: ℤ/6ℤ ≅ ℤ₆ — dokładnie to widać na zakładce „Warstwy”.

Przykład 3 — warstwy podgrupy w ℤ₁₂

Wyznacz warstwy podgrupy H = <3> = {0,3,6,9} w grupie ℤ₁₂.

1. H = {0,3,6,9} (wielokrotności 3 w ℤ₁₂), |H|=4.
2. Warstwa 0+H = {0,3,6,9} = H samo.
3. Warstwa 1+H = {1,4,7,10}. Warstwa 2+H = {2,5,8,11}.
4. Razem: {0,3,6,9} ∪ {1,4,7,10} ∪ {2,5,8,11} = całe ℤ₁₂, rozłącznie. Liczba warstw = [G:H] = 12/4 = 3, zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a (|H| zawsze dzieli |G|).