Ciągi i szeregi funkcyjne

Zbieżność punktowa to za mało. Ciąg funkcji ciągłych może zbiegać punktowo do funkcji nieciągłej, granica całek nie musi być całką granicy, a granica pochodnych — pochodną granicy. Wszystkie te katastrofy znikają dopiero przy zbieżności jednostajnej, której miarą jest jedna liczba: sup|fₙ − f|. Tutaj jest ona liczona na żywo dla każdego n.

sup |fₙ − f| → 0 ?

Punktowa vs jednostajna

xⁿ na [0,1]: każda funkcja ciągła, granica nie — i widać, dlaczego

∀ε ∃N ∀n>N ∀x

Σ Mₙ < ∞

Kryterium Weierstrassa

Jeden warunek na współczynniki wystarcza — łącznie z funkcją nigdzie nieróżniczkowalną

|fₙ(x)| ≤ Mₙ ⇒ zbieżność jednostajna

d/dx Σ vs Σ d/dx

Różniczkowanie i całkowanie

Trzy kontrprzykłady: zbieżność jednostajna nie wystarcza do różniczkowania

lim ∫ fₙ ≠ ∫ lim fₙ

R = 1/limsup|aₙ|^(1/n)

Szeregi potęgowe

Promień zbieżności liczony z współczynników i zachowanie na samych końcach

Σ aₙxⁿ

ZADANIA

Przykłady krok po kroku

xⁿ na [0,1], kryterium Weierstrassa, promień zbieżności

3 rozwiązane zadania

Zbieżność punktowa a jednostajna

punktowa: ∀x ∀ε ∃N(x,ε) …
jednostajna: ∀ε ∃N(ε) ∀x …

Cała różnica siedzi w tym, czy N wolno zależeć od x. Równoważnie: sup|fₙ(x) − f(x)| → 0.

Ciąg fₙ

n 4

ε (pas wokół granicy) 0.20

sup |fₙ − f| dla tego n–

sup dla n = 60–

punkt, w którym sup jest osiągane–

∫ fₙ / ∫ f–

–

fₙ, poprzednie n (blado) i granica punktowa

sup |fₙ − f| w funkcji n

Kryterium Weierstrassa (test M)

Jeśli |fₙ(x)| ≤ Mₙ dla każdego x oraz szereg liczbowy ΣMₙ jest zbieżny, to Σfₙ zbiega jednostajnie (i bezwzględnie).

|fₙ(x)| ≤ Mₙ, ΣMₙ < ∞ ⇒ Σfₙ jednostajnie

Kryterium sprowadza pytanie o funkcje do pytania o zwykły szereg liczbowy.

Szereg

liczba wyrazów N 12

powiększenie okna 1×

M_N (ograniczenie N-tego wyrazu)–

Σ_{n≤N} Mₙ–

reszta Σ_{n>N} Mₙ (oszacowanie)–

sup |S_N − S₂₀₀|–

–

suma częściowa S_N(x)

Mₙ oraz reszta ogona (skala log)

Różniczkowanie i całkowanie wyraz po wyrazie

Zbieżność jednostajna wystarcza do przejścia do granicy pod całką, ale nie wystarcza do różniczkowania — tam potrzeba jednostajnej zbieżności pochodnych.

fₙ ⇉ f ⇒ ∫fₙ → ∫f
fₙ ⇉ f ⇏ fₙ′ → f′

Przykład

n 5

sup |fₙ − f|–

sup |fₙ′ − f′|–

∫ fₙ–

∫ f (granicy)–

fₙ i granica f

fₙ′ i pochodna granicy f′

Szeregi potęgowe i promień zbieżności

R = 1 / limsup |aₙ|^(1/n) (Cauchy-Hadamard)

W kole |x| < R szereg zbiega bezwzględnie i jednostajnie na każdym domkniętym podprzedziale; poza — rozbiega. O końcach x = ±R trzeba rozstrzygać osobno.

Szereg

liczba wyrazów N 10

promień R (ze wzoru)–

|aₙ|^(1/n) przy n = 60–

x = −R–

x = +R–

suma częściowa (niebieska) i funkcja graniczna (zielona)

|aₙ|^(1/n) → 1/R

Przykład 1 — fₙ(x) = xⁿ na [0,1]: zbieżność punktowa bez jednostajnej

1. Granica punktowa. Dla ustalonego x ∈ [0,1): xⁿ → 0. Dla x = 1: 1ⁿ = 1 → 1. Zatem f(x) = 0 dla x ∈ [0,1) oraz f(1) = 1.
2. Każda fₙ jest ciągła (wielomian), ale granica f nie jest — ma skok w x = 1. Już to wystarcza: gdyby zbieżność była jednostajna, granica musiałaby być ciągła.
3. Rachunek wprost. sup_{x∈[0,1]} |xⁿ − f(x)| = sup_{x∈[0,1)} xⁿ = 1 (kres górny, nieosiągany). Nie zależy od n, więc nie dąży do zera — brak zbieżności jednostajnej. ✓
4. Gdzie „ucieka” N? Dla ε = 1/2 warunek xⁿ < 1/2 znaczy n > ln 2 / ln(1/x). Przy x → 1⁻ prawa strona → ∞, więc nie ma jednego N dobrego dla wszystkich x naraz.
5. Na przedziale [0, a] z a < 1 sytuacja się zmienia: sup = aⁿ → 0, więc tam zbieżność jest jednostajna. Zbieżność jednostajna zależy więc od dziedziny, nie tylko od wzoru.
6. Całki mimo wszystko zbiegają: ∫₀¹xⁿdx = 1/(n+1) → 0 = ∫₀¹f. Ten przykład psuje ciągłość, ale nie całkowanie — na to trzeba mocniejszego kontrprzykładu (zakładka „Różniczkowanie i całkowanie”, preset n·x·e^(−nx²)).

Przykład 2 — kryterium Weierstrassa dla Σ sin(nx)/n²

Wykaż, że szereg Σ_{n≥1} sin(nx)/n² zbiega jednostajnie na całym ℝ.

1. Szacujemy n-ty wyraz niezależnie od x: |sin(nx)/n²| ≤ 1/n², bo |sin| ≤ 1. Przyjmujemy więc Mₙ = 1/n².
2. Szereg liczbowy ΣMₙ = Σ1/n² jest zbieżny (szereg Dirichleta z p = 2 > 1; jego suma to π²/6 ≈ 1,6449 — problem bazylejski).
3. Z kryterium Weierstrassa: Σ sin(nx)/n² zbiega jednostajnie i bezwzględnie na ℝ. ✓
4. Konsekwencja: suma jest funkcją ciągłą (jednostajna granica funkcji ciągłych), a szereg wolno całkować wyraz po wyrazie na każdym przedziale.
5. Kontrola reszty: |S(x) − S_N(x)| ≤ Σ_{n>N} 1/n² < ∫_N^∞ dt/t² = 1/N. Dla N = 20 daje to gwarancję błędu < 0,05 jednocześnie dla wszystkich x — i dokładnie tę liczbę pokazuje panel jako „reszta ogona”.
6. Uwaga na granice metody: różniczkowanie wyraz po wyrazie daje Σ cos(nx)/n, którego nie da się już oszacować przez zbieżny szereg (Mₙ = 1/n, a Σ1/n rozbiega). Kryterium Weierstrassa milczy o tym szeregu — i słusznie, bo nie zbiega on jednostajnie.

Przykład 3 — promień zbieżności Σ xⁿ/n i zachowanie na końcach

1. Wzór Cauchy'ego-Hadamarda: R = 1/limsup|aₙ|^{1/n}, gdzie aₙ = 1/n.
2. Liczymy limsup: |1/n|^{1/n} = n^{−1/n} = e^{−ln n / n}. Ponieważ ln n / n → 0, mamy n^{−1/n} → e⁰ = 1. Zatem R = 1/1 = 1.
3. Wewnątrz: dla |x| < 1 szereg zbiega bezwzględnie (porównanie z geometrycznym). Suma jest znana: Σ_{n≥1} xⁿ/n = −ln(1−x).
4. Koniec x = 1: dostajemy Σ1/n — szereg harmoniczny, rozbieżny. Zgadza się z tym, że −ln(1−x) → +∞ przy x → 1⁻.
5. Koniec x = −1: dostajemy Σ(−1)ⁿ/n — szereg anharmoniczny, zbieżny warunkowo (kryterium Leibniza), o sumie −ln 2 ≈ −0,693. Zgadza się z wartością −ln(1−(−1)) = −ln 2 ✓.
6. Wniosek ogólny: promień zbieżności nie rozstrzyga o końcach — ten sam R = 1 daje tu rozbieżność w jednym końcu i zbieżność w drugim. Przedział zbieżności to [−1, 1). Panel na zakładce „Szeregi potęgowe” pokazuje oba końce osobno, licząc sumę częściową dla 200 wyrazów.