Transformaty Fouriera i Laplace'a

Szereg Fouriera rozkłada funkcję okresową na przeliczalnie wiele harmonicznych. Transformata robi to samo dla funkcji nieokresowej — tyle że widmo staje się ciągłe. Transformata Laplace'a to jej „stłumiona” wersja, która radzi sobie z funkcjami rosnącymi i zamienia równanie różniczkowe w algebraiczne. Każda para tu pokazana jest wyprowadzona analitycznie i sprawdzona numerycznie na żywo — panel podaje różnicę.

F(ω) = ∫ f(t)e^(−iωt)dt

Transformata Fouriera

Sześć klasycznych par: prostokąt↔sinc, Gauss↔Gauss, i zasada nieoznaczoności

czas ↔ częstotliwość
PRZESUNIĘCIE · SKALA

Własności

Przesunięcie w czasie zmienia tylko fazę; ściśnięcie w czasie rozciąga widmo

f(at) ↔ F(ω/a)/|a|
f ∗ g

Splot

Twierdzenie o splocie sprawdzane liczbowo: FT(f∗g) naprawdę równa się F·G

FT(f∗g) = F·G
F(s), Re s > σ₀

Transformata Laplace'a

Bieguny na płaszczyźnie zespolonej, obszar zbieżności i związek z Fourierem

F(s) = ∫₀^∞ f(t)e^(−st)dt
ODE → ALGEBRA

Laplace → równanie

Oscylator rozwiązany przez residua i porównany z całkowaniem numerycznym RK4

y″+2ζω₀y′+ω₀²y = f(t)
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Wyprowadzenie pary prostokąt↔sinc, splot, rozwiązanie ODE przez Laplace'a

3 rozwiązane zadania

Transformata Fouriera

F(ω) = ∫₋∞^∞ f(t)·e^(−iωt) dt
f(t) = (1/2π)∫₋∞^∞ F(ω)·e^(iωt) dω
Widmo jest ciągłe — zamiast dyskretnych prążków szeregu Fouriera mamy funkcję ω.
F(0) = ∫f(t)dt–
szerokość w czasie Δt–
szerokość w częstotliwości Δω–
iloczyn Δt·Δω–
dziedzina czasu: f(t)
dziedzina częstotliwości: |F(ω)|

Własności transformaty

f(t−t₀) ↔ F(ω)·e^(−iωt₀)
f(a·t) ↔ F(ω/a)/|a|
f(t)·cos ω₀t ↔ ½[F(ω−ω₀)+F(ω+ω₀)]
Przesunięcie nie rusza modułu widma — tylko fazę. Skalowanie działa odwrotnie: ściśnięcie w czasie = rozciągnięcie w częstotliwości.
max |F| przed / po–
Δω przed / po–
czas: oryginał (szary) i po przekształceniu
|F(ω)|: oryginał (szary) i po przekształceniu

Splot i twierdzenie o splocie

(f∗g)(t) = ∫ f(τ)·g(t−τ) dτ

FT(f ∗ g) = F(ω)·G(ω)
Splot w czasie = zwykłe mnożenie w częstotliwości. To dlatego filtracja sygnału (splot z odpowiedzią impulsową) sprowadza się do przemnożenia widma przez charakterystykę filtru.
max |FT(f∗g) − F·G|–
(f∗g)(0)–
czas: f, g oraz f∗g
|F·G| (linia) vs |FT(f∗g)| (punkty, liczone niezależnie)

Transformata Laplace'a

F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^(−st) dt, s = σ + iω
Czynnik e^(−σt) tłumi funkcję, więc całka zbiega także dla f rosnących wykładniczo — ale tylko dla Re s > σ₀. To jest obszar zbieżności. Gdy zawiera oś urojoną, na tej osi Laplace = Fourier.
odcięta zbieżności σ₀–
czy σ w obszarze zbieżności–
czy oś urojona w OZ (Fourier istnieje)–
płaszczyzna s: bieguny i obszar zbieżności
|F(σ + iω)| wzdłuż wybranej prostej

Równanie różniczkowe przez Laplace'a

Transformacja zamienia pochodne na mnożenie przez s (z pamięcią o warunkach początkowych):
L{y′} = sY − y(0)
L{y″} = s²Y − s·y(0) − y′(0)
Równanie staje się algebraiczne, rozwiązujemy je na Y(s), a potem wracamy przez rozkład na ułamki proste (residua w biegunach).
TRANSFORMATA ROZWIĄZANIA
–
bieguny Y(s)–
stan ustalony y(∞)–
max |Laplace − RK4|–
y(t): z residuów (linia) vs RK4 (punkty)
bieguny na płaszczyźnie s

Przykład 1 — wyprowadzenie pary prostokąt ↔ sinc

Wyznacz transformatę Fouriera impulsu prostokątnego f(t) = 1 dla |t| < T/2, 0 poza tym.

1. Z definicji: F(ω) = ∫₋∞^∞ f(t)e^(−iωt)dt = ∫₋T/2^{T/2} e^(−iωt) dt.
2. Całkujemy: ∫e^(−iωt)dt = e^(−iωt)/(−iω), więc F(ω) = [e^(−iωt)/(−iω)]₋T/2^{T/2} = (e^(−iωT/2) − e^(iωT/2))/(−iω).
3. Ze wzoru Eulera e^(iθ) − e^(−iθ) = 2i·sin θ, licznik = −2i·sin(ωT/2).
4. F(ω) = −2i·sin(ωT/2)/(−iω) = 2·sin(ωT/2)/ω = T·sinc(ωT/2), gdzie sinc x = sin x / x.
5. Kontrola w ω = 0: granica T·sinc(0) = T. Z drugiej strony F(0) = ∫f(t)dt = pole prostokąta = T ✓ (aplikacja pokazuje tę wartość jako „F(0) = ∫f(t)dt”).
6. Pierwsze zero widma: sin(ωT/2) = 0 dla ω = 2π/T. Im węższy impuls (mniejsze T), tym dalej leży pierwsze zero — czyli tym szersze widmo. To jest ilościowa treść zasady nieoznaczoności: iloczyn Δt·Δω nie schodzi poniżej stałej rzędu 2π.

Przykład 2 — splot dwóch impulsów prostokątnych daje trójkąt

Oblicz (f∗f)(t) dla f = impulsu prostokątnego o szerokości T i sprawdź twierdzenie o splocie.

1. (f∗f)(t) = ∫ f(τ)·f(t−τ)dτ. Iloczyn f(τ)f(t−τ) jest równy 1 dokładnie na części wspólnej dwóch przedziałów: [−T/2, T/2] oraz [t−T/2, t+T/2].
2. Długość części wspólnej: dla |t| ≥ T przedziały są rozłączne → 0. Dla |t| < T część wspólna to [max(−T/2, t−T/2), min(T/2, t+T/2)], czyli długości T − |t|.
3. Zatem (f∗f)(t) = T − |t| dla |t| < T, 0 poza tym — to impuls trójkątny o podstawie 2T i wysokości T.
4. Sprawdzenie przez transformatę: FT(f∗f) = F(ω)² = [T·sinc(ωT/2)]² = T²·sinc²(ωT/2).
5. Z drugiej strony transformata trójkąta o podstawie 2T i wysokości T to (z tabel, po przeskalowaniu pary trójkąt↔sinc²) dokładnie T²·sinc²(ωT/2) ✓.
6. Wniosek jakościowy: splot wygładza. Prostokąt jest nieciągły, jego splot z samym sobą jest już ciągły (choć z załomem), a widmo spada jak 1/ω² zamiast 1/ω. Na zakładce „Splot” wybierz f = g = prostokąt i zobacz trójkąt, a różnica |FT(f∗g) − F·G| pokazuje wyłącznie błąd kwadratury, nie błąd twierdzenia.

Przykład 3 — y″ + 3y′ + 2y = 1, y(0) = 0, y′(0) = 0

1. Transformujemy obie strony. L{y″} = s²Y − s·y(0) − y′(0) = s²Y (bo oba warunki zerowe), L{y′} = sY, L{1} = 1/s.
2. Równanie w dziedzinie s: s²Y + 3sY + 2Y = 1/s, czyli Y·(s² + 3s + 2) = 1/s.
3. Y(s) = 1 / [s(s² + 3s + 2)] = 1 / [s(s+1)(s+2)]. Bieguny: s = 0, −1, −2.
4. Rozkład na ułamki proste: 1/[s(s+1)(s+2)] = A/s + B/(s+1) + C/(s+2).
   A = 1/[(0+1)(0+2)] = 1/2.
   B = 1/[(−1)(−1+2)] = 1/(−1·1) = −1.
   C = 1/[(−2)(−2+1)] = 1/(−2·−1) = 1/2.
5. Transformata odwrotna, wyraz po wyrazie (L⁻¹{1/(s−a)} = e^(at)):
   y(t) = 1/2 − e^(−t) + (1/2)e^(−2t).
6. Kontrola warunków początkowych: y(0) = 1/2 − 1 + 1/2 = 0 ✓. y′(t) = e^(−t) − e^(−2t), więc y′(0) = 1 − 1 = 0 ✓. Stan ustalony y(∞) = 1/2 — zgadza się z równaniem algebraicznym 2y = 1 po wygaszeniu pochodnych.
7. Ten przypadek odpowiada ω₀² = 2 i 2ζω₀ = 3, czyli ω₀ = √2 ≈ 1,41 i ζ = 3/(2√2) ≈ 1,06 > 1 (przetłumienie — brak oscylacji, oba bieguny rzeczywiste). Ustaw te wartości na zakładce „Laplace → równanie”: bieguny powinny wylądować dokładnie w −1 i −2, a stan ustalony w 0,5.