Rachunek różniczkowy jednej zmiennej

Od definicji granicy funkcji, przez pochodną jako granicę ilorazu różnicowego, po największe twierdzenia rachunku różniczkowego i ich zastosowania do badania przebiegu funkcji.

ε–δ

Granica i ciągłość

Definicja granicy funkcji na żywo, osobliwości usuwalne, skokowe i biegunowe

∀ε>0 ∃δ>0: |x−x₀|<δ ⇒ |f(x)−g|<ε
y = ax + b

Asymptoty

Pionowe, poziome i ukośne — ze współczynnikami liczonymi z granic i sprawdzanymi na wykresie

a = lim f(x)/x, b = lim (f(x) − ax)
SIECZNA → STYCZNA

Pochodna

Iloraz różnicowy zbiegający do pochodnej — sieczna obraca się w styczną

f'(x₀) = lim_{h→0} [f(x₀+h)−f(x₀)]/h
ROLLE, LAGRANGE

Twierdzenia o wartości średniej

Styczna równoległa do siecznej — i jak z tego wynika reguła de l'Hôpitala

f'(c) = [f(b)−f(a)]/(b−a)
APROKSYMACJA

Wzór Taylora

Wielomian coraz wyższego stopnia coraz lepiej przybliżający funkcję

f(x) ≈ Σ f⁽ᵏ⁾(a)/k! · (x−a)ᵏ
f', f''

Ekstrema i wypukłość

Znak pierwszej i drugiej pochodnej — monotoniczność, ekstrema, punkty przegięcia

f'(x)=0, f''(x) rozstrzyga typ

Granica funkcji w punkcie

Funkcja ma granicę g w x₀, jeśli dla każdego ε>0 istnieje δ>0 takie, że dla wszystkich x z (x₀−δ,x₀+δ) (poza samym x₀) wartość f(x) leży w (g−ε,g+ε). Znajdź δ, które działa dla zadanego ε.

Asymptoty wykresu

Asymptota pionowa w x₀: granica jednostronna jest niewłaściwa. Asymptota ukośna y = ax + b: liczymy a = lim f(x)/x, a potem b = lim (f(x) − ax). Gdy a = 0, asymptota jest pozioma — to nie jest osobny przypadek, tylko szczególny. Granice trzeba policzyć osobno w +∞ i −∞.
—

Pochodna jako granica siecznej

Sieczna łączy (x₀,f(x₀)) i (x₀+h,f(x₀+h)). Gdy h→0, sieczna (pomarańczowa) obraca się w styczną (zieloną), a jej nachylenie dąży do f'(x₀).

Twierdzenia o wartości średniej

Wzór Taylora (Maclaurina, a=0)

Wielomian Taylora stopnia N przybliża f(x) blisko a=0 tym lepiej, im większe N — i tym gorzej, im dalej od a. Zwiększaj N i patrz, jak zielona krzywa „dogania” niebieską coraz dalej od środka.

Ekstrema i wypukłość

f'(x)=0 i zmiana znaku f' → ekstremum lokalne (z + na − : maksimum; z − na + : minimum).
f''(x)=0 i zmiana znaku f'' → punkt przegięcia (zmiana wypukłości).
🔴 maksimum🟢 minimum🟣 przegięcie

Przykład 1 — równanie stycznej

Znajdź równanie stycznej do wykresu f(x)=x² w punkcie x₀=2.

1. Pochodna: f'(x)=2x, więc nachylenie stycznej w x₀=2 to f'(2)=4.
2. Punkt styczności: f(2)=4, czyli styczna przechodzi przez (2,4).
3. Równanie prostej o nachyleniu 4 przez (2,4): y−4 = 4(x−2).
4. Po przekształceniu: y = 4x − 4.

Przykład 2 — reguła de l'Hôpitala zastosowana dwukrotnie

Oblicz lim_{x→0} (eˣ−1−x)/x².

1. Podstawienie x=0 daje (1−1−0)/0 = 0/0 — postać nieoznaczona, stosujemy l'Hôpitala.
2. Różniczkujemy licznik i mianownik osobno: (eˣ−1)/(2x). Podstawienie x=0: (1−1)/0 = 0/0 — znowu nieoznaczona, stosujemy l'Hôpitala jeszcze raz.
3. Różniczkujemy ponownie: eˣ/2. Podstawienie x=0: 1/2.
4. Zatem lim_{x→0} (eˣ−1−x)/x² = 1/2. (Zgadza się z rozwinięciem eˣ=1+x+x²/2+…, skąd (eˣ−1−x)/x² → 1/2.)

Przykład 3 — badanie monotoniczności i ekstremów

Zbadaj monotoniczność i znajdź ekstrema lokalne funkcji f(x) = x³−6x²+9x.

1. Pochodna: f'(x) = 3x²−12x+9 = 3(x²−4x+3) = 3(x−1)(x−3).
2. Miejsca zerowe f': x=1 oraz x=3.
3. Znak f' na przedziałach: dla x<1: f'>0 (rosnąca); dla 1<x<3: f'<0 (malejąca); dla x>3: f'>0 (rosnąca).
4. Zmiana z + na − w x=1 ⇒ maksimum lokalne, f(1)=1−6+9=4. Zmiana z − na + w x=3 ⇒ minimum lokalne, f(3)=27−54+27=0.