Formy kwadratowe i geometria afiniczna

Forma kwadratowa to macierz symetryczna w przebraniu. Cała jej geometria — czy poziomice są elipsami, czy hiperbolami, pod jakim kątem leżą osie, jaka jest postać kanoniczna — siedzi w wartościach i wektorach własnych tej macierzy. Ten moduł liczy je na żywo i sprawdza tożsamość RᵀAR = diag(λ₁, λ₂) numerycznie.

Q(x) = xᵀAx

Forma i jej macierz

Poziomice, osie główne wzdłuż wektorów własnych, kryterium Sylvestera

Q = ax² + 2bxy + cy²

OBRÓT

Postać kanoniczna

Jeden obrót usuwa wyraz mieszany — i widać dokładnie, o jaki kąt

λ₁x′² + λ₂y′²

δ = AC − B²

Klasyfikacja stożkowych

Pełne równanie 2. stopnia: elipsa, hiperbola, parabola i przypadki zdegenerowane

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

ℝ³

Powierzchnie II stopnia

Elipsoida, hiperboloidy, stożek, paraboloidy — zmiana typu na żywo suwakami

λ₁x² + λ₂y² + λ₃z² = 1

ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Sprowadzenie do postaci kanonicznej, kryterium Sylvestera, rozpoznanie stożkowej

3 rozwiązane zadania

Forma kwadratowa i jej macierz

Q(x,y) = ax² + 2bxy + cy² = [x y]·A·[x y]ᵀ

A = [[a, b], [b, c]]

Macierz jest symetryczna, więc ma rzeczywiste wartości własne i ortogonalną bazę wektorów własnych — to twierdzenie spektralne i cała treść tego rozdziału.

a 2.00

b (współczynnik przy xy to 2b) 1.00

c 3.00

–

wyznacznik det A = ac − b²–

ślad tr A = a + c–

wartości własne λ₁, λ₂–

sygnatura (p, q)–

kryterium Sylvestera–

–

poziomice Q = const i osie główne

Q na okręgu jednostkowym — min i max to λ₁, λ₂

Sprowadzanie do postaci kanonicznej

Obrót o kąt θ w nowych współrzędnych likwiduje wyraz mieszany:

tg 2θ = 2b / (a − c)

Q = λ₁x′² + λ₂y′²
RᵀAR = diag(λ₁, λ₂)

Kolumny R to unormowane wektory własne — nowe osie układu.

a 3.00

b 1.50

c 1.00

animacja obrotu 0%

kąt obrotu θ–

postać kanoniczna–

wyraz mieszany po obrocie–

max |RᵀAR − diag(λ)|–

poziomice i układ obracający się do osi głównych

Klasyfikacja krzywych 2. stopnia

Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0

O typie decydują dwa wyznaczniki: mały δ = AC − B² (rodzaj) i duży Δ macierzy 3×3 (czy krzywa jest zdegenerowana).

δ > 0 → typ eliptyczny
δ < 0 → typ hiperboliczny
δ = 0 → typ paraboliczny
Δ = 0 → zdegenerowana

A 1.00

B 0.00

C 1.00

D 0.00

E 0.00

F -2.00

δ = AC − B²–

Δ (wyznacznik 3×3)–

λ₁, λ₂ części kwadratowej–

–

krzywa rysowana metodą marching squares z równania

Powierzchnie II stopnia w ℝ³

Po sprowadzeniu do osi głównych każda powierzchnia 2. stopnia ma jedną z dwóch postaci:

λ₁x² + λ₂y² + λ₃z² = 1 (środkowa)
z = λ₁x² + λ₂y² (paraboloida)

O typie decydują wyłącznie znaki współczynników.

Rodzaj równania

λ₁ 1.00

λ₂ 0.60

λ₃ 1.40

obrót widoku 35°

znaki (λ₁, λ₂, λ₃)–

przekrój z = 0–

–

rzut 3D→2D liczony ręcznie, bez WebGL

Przykład 1 — sprowadzenie Q(x,y) = 5x² + 4xy + 2y² do postaci kanonicznej

1. Macierz formy: wyraz przy xy to 4 = 2b, więc b = 2. A = [[5, 2], [2, 2]].
2. Równanie charakterystyczne: det(A − λI) = (5−λ)(2−λ) − 4 = λ² − 7λ + 10 − 4 = λ² − 7λ + 6 = 0.
3. Pierwiastki: λ = (7 ± √(49 − 24))/2 = (7 ± 5)/2, czyli λ₁ = 6, λ₂ = 1.
4. Wektory własne. Dla λ = 6: (A − 6I)v = 0 daje [[−1, 2],[2, −4]]v = 0, czyli −v₁ + 2v₂ = 0, więc v = (2, 1)/√5. Dla λ = 1: [[4, 2],[2, 1]]v = 0, czyli 2v₁ + v₂ = 0, więc v = (1, −2)/√5. Wektory są prostopadłe (2·1 + 1·(−2) = 0) — jak musi być dla macierzy symetrycznej.
5. Postać kanoniczna: Q = 6x′² + y′², gdzie osie x′, y′ leżą wzdłuż tych wektorów.
6. Kąt obrotu: tg 2θ = 2b/(a−c) = 4/3, więc 2θ = arctg(4/3) ≈ 53,13°, czyli θ ≈ 26,57°. Zgadza się z kierunkiem wektora (2,1): arctg(1/2) ≈ 26,57° ✓
7. Wniosek: obie wartości własne dodatnie ⇒ forma jest dodatnio określona, a poziomice Q = const to elipsy o półosiach w stosunku √(λ₂/λ₁) = √(1/6). Kryterium Sylvestera potwierdza: a = 5 > 0 oraz det A = 10 − 4 = 6 > 0 ✓

Przykład 2 — kryterium Sylvestera a wartości własne

Zbadaj określoność form: Q₁ = x² − 4xy + 5y² oraz Q₂ = x² − 4xy + 3y².

1. Q₁: A₁ = [[1, −2], [−2, 5]]. Minory główne: M₁ = 1 > 0, M₂ = det = 5 − 4 = 1 > 0. Kryterium Sylvestera: obie dodatnie ⇒ forma dodatnio określona.
2. Sprawdzenie przez wartości własne: λ² − 6λ + 1 = 0 ⇒ λ = 3 ± 2√2, czyli λ₁ ≈ 5,828 > 0 i λ₂ ≈ 0,172 > 0 ✓ — zgodne.
3. Q₂: A₂ = [[1, −2], [−2, 3]]. Minory: M₁ = 1 > 0, ale M₂ = 3 − 4 = −1 < 0. Kryterium nie jest spełnione ⇒ forma nieokreślona.
4. Wartości własne: λ² − 4λ − 1 = 0 ⇒ λ = 2 ± √5, czyli λ₁ ≈ 4,236 > 0 i λ₂ ≈ −0,236 < 0 ✓ — różne znaki, sygnatura (1,1).
5. Geometrycznie: poziomice Q₁ = 1 to elipsy, poziomice Q₂ = 1 to hiperbole. Dokładnie tę zmianę widać na zakładce „Forma i jej macierz” po przesunięciu suwaka c z 5 na 3 (przy a = 1, b = −2).
6. Uwaga na pułapkę: sam warunek det A > 0 nie wystarcza — dla A = [[−1, 0],[0, −1]] mamy det = 1 > 0, ale forma jest ujemnie określona. Kolejność minorów ma znaczenie: dla ujemnej określoności znaki muszą się naprzemiennie zmieniać (M₁ < 0, M₂ > 0).

Przykład 3 — rozpoznanie krzywej x² + 4xy + 4y² − 6x + 1 = 0

1. Odczytujemy współczynniki w konwencji Ax² + 2Bxy + Cy² + 2Dx + 2Ey + F = 0:
   A = 1, 2B = 4 ⇒ B = 2, C = 4, 2D = −6 ⇒ D = −3, E = 0, F = 1.
2. Mały wyznacznik: δ = AC − B² = 1·4 − 4 = 0 ⇒ typ paraboliczny.
3. Duży wyznacznik macierzy [[A,B,D],[B,C,E],[D,E,F]] = [[1,2,−3],[2,4,0],[−3,0,1]]:
   Δ = 1·(4·1 − 0·0) − 2·(2·1 − 0·(−3)) + (−3)·(2·0 − 4·(−3))
     = 1·4 − 2·2 − 3·12 = 4 − 4 − 36 = −36 ≠ 0.
4. δ = 0 i Δ ≠ 0 ⇒ krzywa to parabola (niezdegenerowana).
5. Potwierdzenie strukturalne: część kwadratowa x² + 4xy + 4y² = (x + 2y)² jest pełnym kwadratem — dokładnie to znaczy δ = 0. Podstawiając u = x + 2y, równanie przyjmuje postać u² − 6x + 1 = 0, czyli x = (u² + 1)/6 — parabola w obróconym układzie.
6. Gdyby wyraz liniowy zniknął (D = E = 0), zostałoby (x+2y)² + 1 = 0 — brak rozwiązań rzeczywistych, czyli zbiór pusty; a przy F = 0 mielibyśmy (x+2y)² = 0, czyli prostą podwójną. To są właśnie przypadki zdegenerowane sygnalizowane przez Δ = 0 — ustaw je suwakami na zakładce „Klasyfikacja stożkowych” i sprawdź, jak zmienia się etykieta typu.