Równania różniczkowe cząstkowe

Trzy typy równań drugiego rzędu opisują trzy zupełnie różne światy: dyfuzję, która wygładza i zapomina; falę, która przenosi i pamięta; oraz stan ustalony, który nie zależy od czasu wcale. O tym, który to świat, decyduje znak jednego wyróżnika. Każde rozwiązanie jest tu liczone dwiema niezależnymi drogami — szeregiem Fouriera i schematem różnicowym — a różnica między nimi pokazywana na bieżąco.

Δ = B² − AC

Klasyfikacja

Eliptyczne, paraboliczne, hiperboliczne — i charakterystyki, które je odróżniają

Au_xx+2Bu_xy+Cu_yy+…=0

u_t = α u_xx

Równanie ciepła

Stygnący pręt: szereg Fouriera kontra schemat FTCS i próg stabilności r ≤ ½

wygładza i zapomina

u_tt = c² u_xx

Równanie falowe

d'Alembert z odbiciami od końców, charakterystyki i okresowość 2L/c

przenosi i pamięta

u = X(x)·T(t)

Rozdzielanie zmiennych

Skąd bierze się szereg: zagadnienie Sturma-Liouville'a i widmo λₙ = (nπ/L)²

X″/X = T′/(αT) = −λ

Δu = 0

Równanie Laplace'a

Stan ustalony na prostokącie, zasada maksimum i gładkość rozwiązań

u_xx + u_yy = 0

ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Rozdzielanie zmiennych dla ciepła, d'Alembert, klasyfikacja równania

3 rozwiązane zadania

Klasyfikacja równań 2. rzędu

A·u_xx + 2B·u_xy + C·u_yy + … = 0

O typie decyduje wyróżnik Δ = B² − AC — dokładnie ten sam, co przy klasyfikacji stożkowych, bo część główna jest formą kwadratową.

Δ < 0 → eliptyczne (Laplace)
Δ = 0 → paraboliczne (ciepło)
Δ > 0 → hiperboliczne (fala)

A 1.00

B 0.00

C 1.00

Δ = B² − AC–

kierunki charakterystyk–

postać kanoniczna–

–

charakterystyki przez punkt (0,0)

obszar zależności punktu (x₀,t₀)

Równanie przewodnictwa ciepła

u_t = α·u_xx, u(0,t) = u(L,t) = 0

Rozwiązanie: u(x,t) = Σ bₙ·sin(nπx/L)·e^{−α(nπ/L)²t}. Wysokie mody gasną najszybciej (wykładnik rośnie jak n²), więc dowolny profil początkowy natychmiast się wygładza — i informacja o szczegółach ginie bezpowrotnie.

Profil początkowy

czas t 0.010

dyfuzyjność α 1.00

liczba węzłów siatki J 60

liczba Couranta r = αΔt/Δx² 0.400

kroków czasowych FTCS–

max |u| w chwili t–

energia ∫u² dx (t = 0 → t)–

max |szereg − FTCS|–

profil u(x,t): szereg (linia) i FTCS (punkty)

mapa czasoprzestrzenna: x poziomo, t pionowo

Równanie falowe i wzór d'Alemberta

u_tt = c²·u_xx, u(0,t) = u(L,t) = 0

Wzór d'Alemberta: u = ½[F(x−ct) + F(x+ct)], gdzie F to nieparzyste, 2L-okresowe rozszerzenie warunku początkowego. Odbicie od zamocowanego końca odwraca znak — i to jest cała treść tego rozszerzenia.

Profil początkowy

czas t 0.00

prędkość c 1.00

okres w czasie 2L/c–

u(x,t) w chwili t: max–

∫u²dx (oscyluje, wraca po okresie)–

energia ½∫(uₜ² + c²uₓ²)dx–

max |d'Alembert − szereg (60 modów)|–

u(x,t) i dwie fale składowe biegnące w przeciwne strony

mapa czasoprzestrzenna — widać charakterystyki x ± ct

Metoda rozdzielania zmiennych

Wstawiamy u(x,t) = X(x)·T(t) i dzielimy przez XT:

X″(x)/X(x) = T′(t)/(α·T(t)) = −λ

Lewa strona zależy tylko od x, prawa tylko od t — więc obie są stałą. Zostaje zagadnienie Sturma-Liouville'a X″ + λX = 0 z X(0) = X(L) = 0, którego widmo to λₙ = (nπ/L)².

Profil początkowy

liczba modów N 5

czas t 0.000

λ₁, λ₂, λ₃–

b₁, b₂, b₃–

czas relaksacji 1/(αλ₁)–

max |S_N − profil| przy t = 0–

suma częściowa S_N i pojedyncze mody

amplitudy modów |bₙ|·e^(−αλₙt) (skala log)

Równanie Laplace'a na prostokącie

u_xx + u_yy = 0 na [0,a]×[0,b]

Brak pochodnej po czasie — to stan ustalony. Rozwiązanie jest jednoznacznie wyznaczone przez wartości na brzegu i spełnia zasadę maksimum: ani maksimum, ani minimum nie może leżeć wewnątrz obszaru.

Dane brzegowe na górnej krawędzi

proporcja b/a 1.00

liczba modów N 30

max na brzegu–

max we wnętrzu–

zasada maksimum–

max |u_xx + u_yy| we wnętrzu–

max |u(x,b) − g(x)|–

rozwiązanie u(x,y) z izoliniami

Przykład 1 — rozdzielanie zmiennych dla równania ciepła

Rozwiąż u_t = α u_xx na [0, L] z u(0,t) = u(L,t) = 0 oraz u(x,0) = f(x).

1. Szukamy rozwiązań postaci u = X(x)·T(t). Podstawiając: X·T′ = α·X″·T, dzielimy przez αXT: T′/(αT) = X″/X.
2. Lewa strona nie zależy od x, prawa nie zależy od t, a są równe — więc obie są tą samą stałą. Oznaczamy ją −λ (znak minus dla wygody).
3. Dostajemy dwa równania zwyczajne: X″ + λX = 0 z X(0) = X(L) = 0 oraz T′ = −αλT.
4. Pierwsze to zagadnienie Sturma-Liouville'a. Dla λ ≤ 0 jedyne rozwiązanie spełniające oba warunki brzegowe to X ≡ 0 (rozwiązanie hiperboliczne lub liniowe nie może zerować się dwukrotnie). Dla λ > 0: X = A·sin(√λ·x) + B·cos(√λ·x); z X(0) = 0 wynika B = 0, a z X(L) = 0 — sin(√λ·L) = 0, czyli √λ·L = nπ.
5. Widmo: λₙ = (nπ/L)², funkcje własne Xₙ = sin(nπx/L). Drugie równanie daje Tₙ = e^−αλₙt.
6. Superpozycja: u(x,t) = Σ bₙ·sin(nπx/L)·e^{−α(nπ/L)²t}. Współczynniki bₙ wyznaczamy z warunku początkowego przez ortogonalność funkcji sin(nπx/L):
bₙ = (2/L)·∫₀^L f(x)·sin(nπx/L) dx.
7. Konsekwencja fizyczna: mod n gaśnie z czasem charakterystycznym 1/(αλₙ) ~ 1/n². Mod n = 10 znika sto razy szybciej niż podstawowy. Dlatego po krótkim czasie zostaje praktycznie sama pierwsza harmoniczna, niezależnie od tego, jak poszarpany był profil początkowy — równanie ciepła wygładza i zapomina.

Przykład 2 — wzór d'Alemberta i odbicie od zamocowanego końca

Rozwiąż u_tt = c²u_xx na [0, L], u(0,t) = u(L,t) = 0, u(x,0) = f(x), u_t(x,0) = 0.

1. Na całej prostej rozwiązaniem jest u = ½[f(x−ct) + f(x+ct)] — dwie kopie profilu o połowie amplitudy, biegnące w przeciwne strony z prędkością c. Sprawdzenie: każda funkcja postaci g(x ∓ ct) spełnia równanie falowe, bo u_tt = c²g″ = c²u_xx.
2. Jak wymusić u(0,t) = 0 dla każdego t? Musi zachodzić f(−ct) + f(ct) = 0, czyli f musi być nieparzysta: f(−x) = −f(x).
3. Podobnie u(L,t) = 0 wymusza f(L−ct) + f(L+ct) = 0, czyli nieparzystość względem punktu L. Obie razem dają okresowość 2L.
4. Wniosek: rozszerzamy f z [0, L] na całą prostą jako funkcję nieparzystą i 2L-okresową (oznaczmy ją F), a wtedy u(x,t) = ½[F(x−ct) + F(x+ct)] automatycznie spełnia oba warunki brzegowe.
5. Interpretacja: fala dobiegająca do zamocowanego końca odbija się z odwróconym znakiem — bo tak wygląda nieparzyste rozszerzenie. To dokładnie to, co widać na sznurku przywiązanym do ściany.
6. Okresowość w czasie: F ma okres 2L, więc u(x, t + 2L/c) = u(x, t). Po czasie 2L/c układ wraca dokładnie do stanu początkowego — inaczej niż przy równaniu ciepła, fala nic nie zapomina. Zakładka „Równanie falowe” sprawdza to liczbowo, porównując u(t) z u(t + 2L/c).
7. Kontrola drugą metodą: to samo rozwiązanie daje szereg u = Σ bₙ·sin(nπx/L)·cos(nπct/L). Aplikacja liczy obie drogi i pokazuje różnicę — dla profilu gładkiego rzędu 10⁻¹⁵, dla profilu z załomem większą, bo skończony szereg nie odtwarza idealnie ostrego wierzchołka.

Przykład 3 — klasyfikacja i stabilność schematu jawnego

1. Sklasyfikuj równanie u_xx − 4u_xy + 3u_yy = 0. Odczytujemy A = 1, 2B = −4 ⇒ B = −2, C = 3.
2. Wyróżnik: Δ = B² − AC = 4 − 3 = 1 > 0 ⇒ równanie hiperboliczne, typu falowego.
3. Charakterystyki spełniają A(dy)² − 2B(dy)(dx) + C(dx)² = 0, czyli dla m = dy/dx: m² + 4m + 3 = 0, stąd m = −1 oraz m = −3. Istnieją dwie rodziny prostych charakterystycznych — cecha wyłącznie typu hiperbolicznego.
4. Dla porównania Δ = 0 (paraboliczne, ciepło) daje jedną rodzinę podwójną, a Δ < 0 (eliptyczne, Laplace) — żadnej rzeczywistej. To dlatego równanie Laplace'a nie ma „kierunku rozchodzenia się sygnału”: zaburzenie brzegu wpływa natychmiast na cały obszar.
5. Stabilność schematu jawnego dla u_t = αu_xx. Schemat FTCS: u_j^k+1 = u_j^k + r(u_j+1 − 2u_j + u_j−1), gdzie r = αΔt/Δx².
6. Analiza von Neumanna: wstawiamy u_j^k = G^ke^ijθ i dostajemy współczynnik wzmocnienia G = 1 + 2r(cos θ − 1) = 1 − 4r·sin²(θ/2). Warunek |G| ≤ 1 dla wszystkich θ daje 1 − 4r ≥ −1, czyli r ≤ 1/2.
7. Praktyczny wniosek jest brutalny: zagęszczenie siatki dwukrotnie (Δx → Δx/2) zmusza do czterokrotnego zmniejszenia kroku czasowego. Zakładka „Równanie ciepła” pozwala przekroczyć próg — przy r nieco powyżej 0,5 niestabilność narasta jak (4r−1)ᵏ, więc bywa niewidoczna przez kilkadziesiąt kroków, a potem eksploduje.