Równania Różniczkowe
& Geometria Różniczkowa

Interaktywna symulacja — pola kierunków, oscylatory, płaszczyzna fazowa, krzywizna krzywych i powierzchni

ODE • RZĘDU 1

Pole kierunków

Wizualizacja rozwiązań dy/dx=f(x,y)

dy/dx = f(x,y)
NUMERYCZNE

Metoda Eulera

Animowana aproksymacja krokowa

yₙ₊₁ = yₙ + h·f(xₙ,yₙ)
ODE • RZĘDU 2

Oscylator harmoniczny

Tłumiony, rezonans, drgania swobodne

y''+2ζω₀y'+ω₀²y=0
UKŁADY ODE

Płaszczyzna fazowa

Trajektorie, punkty stałe, stabilność

ẋ=ax+by, ẏ=cx+dy
ZAGADNIENIE BRZEGOWE

Sturm-Liouville

Widmo dyskretne, funkcje własne, ortogonalność

−y″ + q₀y = λy
PUNKT OSOBLIWY

Metoda Frobeniusa

Równanie wskaźnikowe, szereg wokół x=0, Bessel

y = xʳ · Σ aₘxᵐ
GEOM. RÓŻN.

Krzywizna 2D

Okrąg styczny, ewoluta, długość łuku

κ = |r'×r''|/|r'|³
KRZYWE 3D

Ramka Freneta

Wektory T, N, B; skręcenie τ

T' = κN, B' = −τN
POWIERZCHNIE

Krzywizna powierzchni

Gaussa K, średnia H, siodło vs kula

K = κ₁·κ₂
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Pełne wyprowadzenia i rozwiązania

Separacja · Liniowe · Bernoulli
Każda zakładka mieści się w oknie ekranu · suwaki aktualizują wykresy na żywo · zaprojektowano pod projektor sali wykładowej

Pole kierunków

dy/dx = f(x,y) — siatka nachyleń i krzywe całkowe

Idea

Czym jest pole kierunków?

W każdym punkcie (x,y) rysujemy krótki odcinek o nachyleniu f(x,y). Krzywe styczne do tego "przepływu" (podążające za nim w każdym punkcie) = rozwiązania równania.

dy/dx = f(x,y)
y(x₀) = y₀ ← warunek początkowy
Wybierz równanie
Gęstość:14
y₀ (start):1.0
x₀ (start):−2.0
Krzywe:3
Izoklinale

Linie stałego nachylenia

Izoklina f(x,y)=c to krzywa, wzdłuż której nachylenie jest stałe równe c.

f(x,y) = c  →  izoklina

Np. dla dy/dx=y−x: izokliny to proste y = x + c.

Punkt osobliwy

Równowaga: f(x,y)=0

Jeśli f(x₀,y₀)=0 — pole znika, y=y₀ jest rozwiązaniem stałym.

dy/dx=y(1−y):   y*=0,1

Metoda Eulera

Numeryczna aproksymacja rozwiązania ODE — animacja kroków

Algorytm

Schemat Eulera

xₙ₊₁ = xₙ + h
yₙ₊₁ = yₙ + h · f(xₙ, yₙ)

h = krok całkowania. Mniejszy h → większa dokładność, więcej kroków.

Parametry
Krok h:0.30
y₀:1.0
Krok:0 / 0
Błąd |y_euler − y_dokł|:–
Błąd metody

Rząd metody Eulera: O(h)

Błąd lokalny ~ ½h²y''. Błąd globalny ~ O(h): zmniejszenie h 2× → błąd maleje 2×.

Błąd ≈ C · h
Ulepszenia
Heun (RK2)O(h²) — dwa ewaluacje f
RK4O(h⁴) — cztery ewaluacje f
Adamswielokrokowe — wysoka dok.

Oscylator harmoniczny

y'' + 2ζω₀y' + ω₀²y = F·cos(ωt) — tłumienie, rezonans

Model

Równanie oscylatora

my'' + cy' + ky = F cos(ωt)

ζ = c/(2√(mk)) ← współczynnik tłumienia
ω₀ = √(k/m) ← częstość własna
Parametry układu
ω₀:2.0
ζ (tłum.):0.20
F (siła):0.0
ω (wzb.):2.0
y₀:1.0
Typ tłumienia:–
ω_rezonans:–
Typy rozwiązań
ζ = 0Niestłumione: y=A cos(ω₀t+φ)
0<ζ<1Podtłumione: oscylacje zanikające
ζ = 1Krytyczne: najszybszy powrót
ζ > 1Przetłumione: brak oscylacji
Rezonans

ω → ω₀, ζ → 0

A(ω) = F / √((ω₀²−ω²)² + 4ζ²ω₀²ω²)

Amplituda → ∞ gdy ζ=0, ω=ω₀.

Płaszczyzna fazowa układów liniowych

ẋ=ax+by, ẏ=cx+dy — trajektorie, wartości własne, stabilność

Układ liniowy

Równanie macierzowe

ẋ = Ax, A = [[a,b],[c,d]]

λ₁,λ₂ — wartości własne A
det(A−λI) = 0
Macierz układu A
a:-1.0
b:1.0
c:-1.0
d:-1.0
Wartości własne:–
Typ punktu:–
Klasyfikacja punktu (0,0)
λ₁,λ₂ < 0Węzeł stabilny
λ₁,λ₂ > 0Węzeł niestabilny
λ₁<0<λ₂Siodło (niestabilne)
Re(λ)<0Spirala stabilna
Re(λ)=0Centrum (orbity zamknięte)
Kryterium Routh-Hurwitza
Stabilność ⟺ tr(A) < 0 & det(A) > 0

Zagadnienie Sturma-Liouville'a

−y″ + q₀y = λy na [0,1] — dlaczego widmo jest dyskretne i skąd ortogonalność

Postać ogólna

Operator Sturma-Liouville'a

−(p(x)y′)′ + q(x)y = λ w(x) y

tu: p ≡ 1, w ≡ 1, q ≡ q₀ (stała)
−y″ + q₀y = λy, x ∈ [0,1]
Warunki brzegowe
q₀:0.0
λ (strzał):6.00
Δ(λ) — reszta brzegowa–
Status λ–
Ortogonalność ⟨yᵢ,yⱼ⟩ = ∫₀¹ yᵢ(x)yⱼ(x) dx
…
Liczone numerycznie (Simpson, 2000 podziałów) — nie wpisane z góry.
Dlaczego widmo jest dyskretne
Równanie −y″+q₀y=λy ma rozwiązanie dla każdego λ — problem w tym, że warunek na drugim końcu spełnia tylko dla ciągu λ₁<λ₂<… → +∞. Prawy wykres pokazuje resztę brzegową Δ(λ): wartości własne to dokładnie jej miejsca zerowe.
Widmo ograniczone z dołu
Dla λ < q₀ rozwiązanie jest hiperboliczne (sinh/cosh) — rośnie monotonicznie i nigdy nie wraca do zera. Stąd λₙ ≥ q₀ zawsze; przesuwanie q₀ przesuwa całe widmo o tę samą stałą.

Metoda Frobeniusa

Szereg wokół regularnego punktu osobliwego x=0 — równanie Bessela

Ansatz

Szereg Frobeniusa

y(x) = xʳ · Σm≥0 aₘ xᵐ, a₀ ≠ 0
Wokół regularnego punktu osobliwego zwykły szereg potęgowy nie wystarcza — trzeba dopuścić niecałkowity wykładnik r.
Równanie Bessela
x²y″ + xy′ + (x² − ν²)y = 0
x=0 jest regularnym punktem osobliwym: x·p(x)=1 oraz x²·q(x)=x²−ν² są analityczne.
Parametry
ν:0.00
wyrazów N:4
Równanie wskaźnikowe
r² − ν² = 0
Współczynnik przy najniższej potędze xʳ. Jego pierwiastki to jedyne dopuszczalne wykładniki.
Wzór rekurencyjny (r = ν)
a₁ = 0, aₘ = −aₘ₋₂ / [m(m+2ν)]
…
Sₙ dokładne do 10⁻⁶ na przedziale–
Drugi pierwiastek r = −ν
…

Krzywizna krzywych płaskich

κ(t), okrąg styczny, ewoluta, długość łuku

Definicja

Krzywizna κ

κ(t) = |x'y'' − y'x''| / (x'²+y'²)^(3/2)

R = 1/κ ← promień krzywizny
R → ∞ gdy κ → 0 (prosta)
Wybierz krzywą
a (skala):2.0
b (skala):1.2
t (punkt):t
κ(t) =–
R = 1/κ =–
Długość łuku ≈–
Ewoluta

Środki okręgów stycznych

X_e = x − y'(x'²+y'²)/(x'y''−y'x'')
Y_e = y + x'(x'²+y'²)/(x'y''−y'x'')

Ewoluta elipsy to astryd.

Wzory specjalne
Okrąg rκ = 1/r (stała)
Prostaκ = 0
Parabolaˣ²κ(0) = 2

Ramka Freneta-Serreta

Wektory T, N, B wzdłuż krzywej przestrzennej — krzywizna κ i skręcenie τ

Wzory Freneta

Trójwymiarowa ramka

T = r'/|r'| ← styczna
N = T'/|T'| ← główna normalna
B = T × N ← binormalna

T' = κ·N
N' = −κ·T + τ·B
B' = −τ·N
Krzywa przestrzenna
a (promień):1.5
b (skok):0.5
t (punkt):t
Obrót:30°
κ (krzywizna) =–
τ (skręcenie) =–
Interpretacja geometryczna
T (zielony)Kierunek ruchu wzdłuż krzywej
N (niebieski)Ku środkowi krzywizny
B (różowy)Prostopadła do płaszczyzny stycznej
Heliks: a cosθ, a sinθ, bθ
κ = a/(a²+b²) ← stała
τ = b/(a²+b²) ← stała
R = (a²+b²)/a

Krzywizna powierzchni

Krzywizna Gaussa K, średnia H, rodzaje powierzchni

Definicje

Krzywizny główne κ₁, κ₂

K = κ₁·κ₂ ← Gaussa
H = (κ₁+κ₂)/2 ← średnia

K>0: eliptyczna (jak kula)
K<0: hiperboliczna (jak siodło)
K=0: paraboliczna (jak walec)
Rodzaj powierzchni
Skala R:2.0
r (torus):0.6
Obrót:35°
Przechył:30°
K (Gaussa) =–
H (średnia) =–
Twierdzenie Egregium Gaussa

K jest wewnętrzną własnością!

Krzywizna Gaussa nie zmienia się przy gięciu bez rozciągania (izometria). Dlatego nie możemy wygładzić mapy Ziemi bez zniekształceń.

Powierzchnie minimalne (H=0)
KatenoidaH=0, K<0
HelikoidaH=0, K<0
PłaszczyznaH=0, K=0

Przykłady krok po kroku

Separacja zmiennych · Liniowe rzędu 1 · Bernoulli · Warunki początkowe

PRZYKŁAD 1 — SEPARACJA

dy/dx = xy, y(0)=1

1

Rozdziel zmienne

dy/y = x dx
2

Całkuj obie strony

∫dy/y = ∫x dx
ln|y| = x²/2 + C
3

Wyraź y jawnie

y = A·e^(x²/2), A=e^C
4

Warunek: y(0)=1

1 = A·e^0 → A=1
Rozwiązanie
y = e^(x²/2)
PRZYKŁAD 2 — LINIOWE R.1

y' + P(x)·y = Q(x)

1

Czynnik całkujący

μ(x) = e^(∫P(x)dx)
2

Pomnóż przez μ

d/dx[μ·y] = μ·Q(x)
3

Całkuj

μ·y = ∫μ·Q dx + C
4

Przykład: y'−y=eˣ, y(0)=0

μ=e^(−x), d/dx[e^(−x)y]=1
e^(−x)y = x+C → y=xe^x
Rozwiązanie
y = x·eˣ
PRZYKŁAD 3 — BERNOULLI

y' + P(x)y = Q(x)·yⁿ

1

Podstawienie v = y^(1−n)

v' = (1−n)y^(−n)·y'
2

Podziel przez yⁿ

y^(−n)y' + P·y^(1−n) = Q
v'/(1−n) + Pv = Q
3

Rozwiąż liniowe dla v

v' + (1−n)P·v = (1−n)Q
← standardowe liniowe!
4

Przykład: y'−y=−y³, y(0)=½

v=y^(−2), v'+2v=2
v=1+Ce^(−2x), v(0)=4→C=3
y=1/√(1+3e^(−2x))
Rozwiązanie
y = 1/√(1+3e^(−2x))