Interaktywna symulacja — płaszczyzna Arganda, funkcje holomorficzne, kolorowanie dziedziny, twierdzenia Cauchy'ego i residuów
Reprezentacja geometryczna, moduł, argument, sfera Riemanna
Dodawanie (równoległobok), mnożenie (obrót+skala), potęgowanie
n pierwiastków na jednym okręgu, zasadnicze twierdzenie algebry, rozkład na czynniki
Warunek na z przetłumaczony na obszar: koło, pierścień, kąt, symetralna, elipsa
Kolorowanie dziedziny, powierzchnia 3D |f(z)|, warunki C-R
Okręgi → okręgi, obszary konforemne, punkt stały
Promień zbieżności, sumy cząstkowe na płaszczyźnie
Twierdzenie Cauchy'ego, wzór całkowy, animacja konturu
Twierdzenie o residuach, rzędy biegunów, rozwinięcie Laurenta
Obliczenia, bieguny, całki konturowe, warunki Cauchy'ego–Riemanna
Każdą liczbę z = a + bi reprezentujemy jako punkt na płaszczyźnie: oś pozioma = część rzeczywista Re(z), oś pionowa = część urojona Im(z).
Sfera Riemanna rzutuje punkt z = (a, b) na sferę jednostkową. Biegun północny N = (0,0,1) odpowiada ∞. Punkt na sferze:
Każde z może być zapisane jako r·e^(iθ). Mnożenie = obrót + skalowanie.
z₁ + z₂ = (a₁+a₂) + (b₁+b₂)i — suma wektorów na płaszczyźnie.
Moduły mnożą się, argumenty dodają: obrót o arg(z₂), skala |z₂|.
Potęgowanie = obrót n-krotny kąta i potęgowanie modułu.
Każda liczba zespolona w ≠ 0 ma dokładnie n pierwiastków n-tego stopnia. Wszystkie leżą na okręgu o promieniu ⁿ√|w|, w równych odstępach kątowych 2π/n — tworzą n-kąt foremny.
Wielomian stopnia n ≥ 1 o współczynnikach zespolonych ma w ℂ dokładnie n pierwiastków licząc z krotnościami. Gdy współczynniki są rzeczywiste, pierwiastki nierzeczywiste chodzą w parach sprzężonych — dlatego rzeczywisty rozkład ma tylko czynniki stopnia 1 i 2.
Podstawiając z = x + iy każdy warunek zamienia się w nierówność na x i y. |z − z₀| to odległość od punktu, arg z to kąt, a |z − p| = |z − q| to symetralna odcinka pq. Obszar poniżej jest liczony piksel po pikselu wprost z warunku — nie z narysowanego z góry kształtu.
Każdy punkt z → barwa wg arg(f(z)), jasność wg log|f(z)|. Zera = biel (|f|→0). Bieguny = ciemność + wszystkie kolory.
f(z) = u + iv holomorficzne ⟺
Kolorowanie tworzy gładkie przejścia barw ⟺ funkcja holomorficzna.
Odwzorowuje okręgi i proste na okręgi i proste. Jest konforemna (zachowuje kąty).
Na granicy dysku |z|=R — może zbiegać lub nie.
Funkcja holomorficzna w otoczeniu z₀ jest równa swojemu szeregowi Taylora w tym otoczeniu.
dla każdego zamkniętego konturu γ ⊂ D (bez biegunów wewnątrz).
Coefficient a₋₁ przy (z−z₀)⁻¹ to residuum w z₀.
Sumujemy residua biegunów wewnątrz konturu γ z uwzględnieniem indeksu.
Rozwijamy iloczyn algebraicznie:
Upraszczamy, pamiętając i² = −1:
Łączymy wyrazy:
Geometrycznie: |3+4i|=5, |1−2i|=√5, wynik |11−2i|=√125=5√5.
Obliczamy moduł:
Argument (II ćwiartka, a<0, b>0):
Postać trygonometryczna:
Weryfikacja: 2·cos(2π/3)=−1 ✓, 2·sin(2π/3)=√3 ✓
Stosujemy wzór Eulera: e^(iθ) = cos(θ) + i·sin(θ)
Podstawiamy wartości trygonometryczne:
Słynna tożsamość: e^(iπ) + 1 = 0 ← θ = π daje cos(π)=−1, sin(π)=0.
Rozkładamy mianownik:
Bieguny w: z₁ = i, z₂ = −i (oba rządu 1)
Residuum w z=i (biegun rz. 1):
∮|z|=2 f(z)dz = 2πi(−i/2 + i/2) = 0 (oba bieguny wewnątrz).
Funkcja f(z) = eˢ/z ma jeden biegun: z₀ = 0 (rząd 1).
Biegun z=0 leży wewnątrz |z|=1.
Residuum:
Twierdzenie o residuach:
Piszemy f(z) = z̄ = x − iy, więc u = x, v = −y.
Warunki Cauchy'ego–Riemanna:
Funkcja f(z) = z̄ nie jest holomorficzna w żadnym punkcie.
Porównaj: f(z) = z² jest holomorficzna (u=x²−y², v=2xy, C–R spełnione).