Szeregi Fouriera

Każdą (rozsądną) funkcję okresową da się zbudować z sumy sinusów i cosinusów. Zobacz, jak kolejne wyrazy szeregu budują sygnał, dlaczego przy nieciągłościach zawsze zostaje przeregulowanie (zjawisko Gibbsa), i co mówi widmo częstotliwościowe.

START

Suma częściowa

Jak kolejne harmoniczne budują sygnał, wyraz po wyrazie

f(x) ≈ a₀/2 + Σ(aₙcos nx + bₙsin nx)
NIECIĄGŁOŚĆ

Fala prostokątna i zjawisko Gibbsa

Przy skoku zawsze zostaje ok. 9% przeregulowania — niezależnie od liczby wyrazów

(4/π)Σ sin((2k+1)x)/(2k+1)
TEMPO ZBIEŻNOŚCI

Piłokształtna vs. trójkątna

Ta sama liczba wyrazów — funkcja ciągła zbiega dużo szybciej niż nieciągła

1/n vs. 1/n²
SYMETRIA

Funkcje parzyste i nieparzyste

Parzysta → sam cosinus, nieparzysta → sam sinus

f(−x)=f(x) ⟹ bₙ=0
CZĘSTOTLIWOŚĆ

Widmo częstotliwościowe

Wysokość słupka = ile danej harmonicznej jest w sygnale

|cₙ| = √(aₙ²+bₙ²)
ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Pełne wyliczenia współczynników dla trzech funkcji

3 rozwiązane zadania
Każda zakładka mieści się w jednym oknie ekranu · suwaki aktualizują wykresy na żywo · zaprojektowano pod projektor sali wykładowej

Suma częściowa

Szereg Fouriera przybliża funkcję okresową sumą sinusów i cosinusów o rosnącej częstotliwości. Im więcej wyrazów N, tym lepsze przybliżenie.

Szara przerywana linia to funkcja docelowa, kolorowa — suma częściowa. Zwiększaj N i patrz, jak się do siebie zbliżają.

Fala prostokątna i zjawisko Gibbsa

f(x) = (4/π)·Σ sin((2k+1)x)/(2k+1)

Przy skoku (nieciągłości) suma częściowa zawsze „przestrzeliwuje" cel o ok. 9% wysokości skoku — obszar przeregulowania robi się węższy przy większym N, ale jego wysokość nie maleje.

maks. wartość tuż przy skoku (0→1)
—
Klasyczna stała Gibbsa: maksimum dąży do ≈1.1790 (nie do 1), niezależnie od N.
pełny widok
przybliżenie przy skoku x=0

Piłokształtna vs. trójkątna

Piłokształtna ma skok (nieciągłość) — współczynniki maleją jak 1/n. Trójkątna jest ciągła (tylko „łamana") — współczynniki maleją jak 1/n², więc przy tym samym N przybliżenie jest wyraźnie lepsze.

piła: bₙ ~ 1/n (wolno)
2(−1)ⁿ⁺¹/n
trójkąt: aₙ ~ 1/n² (szybko)
−4/(πn²), n nieparzyste
piłokształtna
trójkątna

Funkcje parzyste i nieparzyste

f parzysta (f(−x)=f(x)) → w szeregu zostają same cosinusy (bₙ=0). f nieparzysta (f(−x)=−f(x)) → same sinusy (aₙ=0). Funkcja bez tej symetrii ma oba rodzaje współczynników.

symetria
nieparzysta
Nieparzysta: wszystkie aₙ=0, w tym a₀=0 (średnia wynosi 0).
funkcja
|aₙ| (górne) i |bₙ| (dolne)

Widmo częstotliwościowe

|cₙ| = √(aₙ² + bₙ²)

Widmo pokazuje „ile" każdej harmonicznej wchodzi w skład sygnału — to samo, co przebieg czasowy, ale w innej reprezentacji.

dziedzina czasu
dziedzina częstotliwości

1. Fala prostokątna: f(x)=1 na (0,π), f(x)=−1 na (−π,0)

Funkcja nieparzysta → aₙ=0 dla wszystkich n. Liczymy tylko bₙ:
bₙ = (2/π)∫₀^π sin(nx)dx = (2/π)·[1−cos(nπ)]/n = (2/π)·[1−(−1)ⁿ]/n.
Dla n parzystego: 1−1=0 → bₙ=0. Dla n nieparzystego: 1−(−1)=2 → bₙ=4/(nπ).
f(x) = (4/π)[sin x + sin 3x/3 + sin 5x/5 + …]

2. Piła: f(x)=x na (−π,π)

Funkcja nieparzysta → aₙ=0. Całkujemy przez części:
bₙ = (2/π)∫₀^π x sin(nx)dx = (2/π)·[−π(−1)ⁿ/n] = 2(−1)ⁿ⁺¹/n.
f(x) = 2[sin x − sin 2x/2 + sin 3x/3 − …]
Współczynniki maleją jak 1/n — dużo wolniej niż w przykładzie 3, bo funkcja ma skok przy x=±π.

3. Trójkąt: f(x)=|x| na [−π,π]

Funkcja parzysta → bₙ=0. a₀ = (2/π)∫₀^π x dx = π, więc a₀/2 = π/2 (średnia wartość |x|).
aₙ = (2/π)∫₀^π x cos(nx)dx = (2/π)·[(−1)ⁿ−1]/n². Dla n parzystego: 0. Dla n nieparzystego: −4/(πn²).
f(x) = π/2 − (4/π)[cos x + cos 3x/9 + cos 5x/25 + …]
Współczynniki maleją jak 1/n² — funkcja jest ciągła (tylko „łamana"), więc zbieżność jest dużo szybsza.