Przykład 1 — normy ‖·‖₁ i ‖·‖∞ nie są równoważne
Pokaż, że na C[0,1] nie istnieje stała C z ‖f‖∞ ≤ C·‖f‖₁ dla wszystkich f.
1. Przypuśćmy, że taka stała istnieje. Skonstruujemy ciąg, który jej przeczy.
2. Weźmy „iglicę”: fₙ to funkcja trójkątna o wierzchołku 1 w punkcie 0
i podstawie [0, 1/n] (poza tym zero). Każda fₙ jest ciągła.
3. ‖fₙ‖∞ = 1 dla każdego n (wysokość się nie zmienia).
4. ‖fₙ‖₁ = pole trójkąta = ½ · (1/n) · 1 = 1/(2n) → 0.
5. Gdyby ‖f‖∞ ≤ C‖f‖₁, to 1 ≤ C/(2n) dla każdego n, czyli C ≥ 2n dla każdego n —
sprzeczność, bo C miałoby być skończone.
6. Wniosek: fₙ → 0 w normie ‖·‖₁ (i w ‖·‖₂, bo ‖fₙ‖₂ = 1/√(3n) → 0),
ale nie w ‖·‖∞. Zbieżność zależy od wyboru normy.
7. Odwrotny kierunek jednak działa: ‖f‖₁ ≤ ‖f‖₂ ≤ ‖f‖∞ na przedziale długości 1
(pierwsza nierówność to Cauchy-Schwarz z funkcją 1, druga jest oczywista). Zawsze więc
jedna implikacja zachodzi — zbieżność jednostajna pociąga zbieżność w L² i w L¹.
8. W ℝⁿ nic takiego nie może się zdarzyć: tam wszystkie normy są równoważne,
bo kula jednostkowa jest zwarta. W wymiarze nieskończonym kula jednostkowa
nie jest zwarta — to twierdzenie Riesza — i stąd cała różnica.
Przykład 2 — (C[0,1], ‖·‖₁) nie jest przestrzenią Banacha
1. Definiujemy ciąg funkcji ciągłych „rampa”:
fₙ(x) = 0 dla x ≤ ½, fₙ(x) = n(x − ½) dla ½ < x ≤ ½ + 1/n, fₙ(x) = 1 dalej.
2. Ciąg jest Cauchy'ego w ‖·‖₁. Dla m > n funkcje różnią się tylko na
przedziale (½, ½+1/n], gdzie obie leżą między 0 a 1. Zatem
‖fₙ − f_m‖₁ ≤ 1 · (1/n) = 1/n → 0.
3. Granica. Punktowo fₙ(x) → f(x), gdzie f = 0 dla x ≤ ½ i f = 1 dla x > ½ —
funkcja skokowa Heaviside'a. Ponadto ‖fₙ − f‖₁ = ½·(1/n) → 0.
4. Ale f nie jest ciągła, więc f ∉ C[0,1].
5. Czy granica mogłaby być jakąś inną funkcją ciągłą g? Gdyby ‖fₙ − g‖₁ → 0,
to z nierówności trójkąta ‖f − g‖₁ ≤ ‖f − fₙ‖₁ + ‖fₙ − g‖₁ → 0, czyli ‖f − g‖₁ = 0.
Dwie funkcje różniące się na zbiorze miary dodatniej mają dodatnią normę ‖·‖₁, a f i g
różniłyby się na całym otoczeniu ½ (bo g ciągła, f nie) — sprzeczność.
6. Zatem ciąg Cauchy'ego nie ma granicy w C[0,1] — przestrzeń nie jest zupełna.
7. Dwa wnioski. Po pierwsze: uzupełnieniem (C[0,1], ‖·‖₁) jest właśnie L¹[0,1] —
i to jest jeden z głównych powodów, dla których w ogóle buduje się całkę Lebesgue'a.
Po drugie: ta sama przestrzeń C[0,1] jest zupełna w normie ‖·‖∞ (jednostajna granica
funkcji ciągłych jest ciągła). Zupełność to własność pary (przestrzeń, norma),
nie samego zbioru.
Przykład 3 — norma operatora mnożenia
Niech (Mf)(x) = g(x)·f(x) na L²[0,1], gdzie g jest ciągła. Wykaż, że ‖M‖ = ‖g‖∞.
1. Oszacowanie z góry. ‖Mf‖₂² = ∫|g f|² = ∫|g|²|f|² ≤ ‖g‖∞²·∫|f|² = ‖g‖∞²‖f‖₂².
Zatem ‖Mf‖₂ ≤ ‖g‖∞·‖f‖₂ dla każdego f, czyli ‖M‖ ≤ ‖g‖∞.
2. Oszacowanie z dołu. Niech x₀ będzie punktem, w którym |g| osiąga maksimum
(g ciągła na zwartym [0,1], więc maksimum jest osiągane).
3. Z ciągłości: dla każdego ε > 0 istnieje δ z |g(x)| ≥ ‖g‖∞ − ε na przedziale
I_δ = (x₀−δ, x₀+δ) ∩ [0,1].
4. Weźmy f = funkcję charakterystyczną tego przedziału (albo jej gładkie
przybliżenie), unormowaną: ‖f‖₂ = 1. Wtedy
‖Mf‖₂² = ∫_{I_δ}|g|²|f|² ≥ (‖g‖∞ − ε)²·∫|f|² = (‖g‖∞ − ε)².
5. Czyli ‖M‖ ≥ ‖g‖∞ − ε dla dowolnego ε > 0, więc ‖M‖ ≥ ‖g‖∞.
6. Z obu nierówności: ‖M‖ = ‖g‖∞. Zakładka „Operatory i widmo” mierzy tę normę
numerycznie, przepuszczając przez operator rodzinę coraz węższych „iglic” skupionych
w różnych punktach — iloraz ‖Mf‖/‖f‖ pełznie do ‖g‖∞ z dołu, dokładnie jak w kroku 4.
7. Kontrast: różniczkowanie. Dla D f = f′ weźmy fₙ(x) = sin(nπx). Wtedy ‖fₙ‖₂ = 1/√2,
a ‖Dfₙ‖₂ = nπ/√2. Iloraz wynosi nπ → ∞, więc D nie jest ograniczony — a skoro
dla operatorów liniowych ograniczoność jest równoważna ciągłości, różniczkowanie
jest operacją nieciągłą. Dlatego właśnie z fₙ ⇉ f nie wynika fₙ′ → f′
(patrz moduł „Ciągi i szeregi funkcyjne”).