Przestrzenie metryczne i topologia

Metryka to jedyne, czego potrzeba, żeby mówić o granicy, ciągłości i zbieżności — bez układu współrzędnych, bez dodawania, bez niczego więcej. Ten moduł pokazuje, jak sama zmiana definicji odległości zmienia kształt „koła”, oraz cztery pojęcia, na których stoi cała reszta analizy: wnętrze/brzeg, zwartość, spójność i zupełność.

d(x,y)

Metryki i kule

Kula jednostkowa w metryce taksówkowej, euklidesowej i maksimum — trzy różne kształty

‖x‖ₚ = (Σ|xᵢ|ᵖ)^(1/p)

int A, ∂A, Ā

Wnętrze, brzeg, domknięcie

Klasyfikacja każdego punktu płaszczyzny przez otoczenia — liczona, nie narysowana

∂A = Ā \ int A

POKRYCIA

Zwartość

Dlaczego (0,1] nie jest zwarty: pokrycie bez podpokrycia skończonego

Heine-Borel: domknięty + ograniczony

SKŁADOWE

Spójność

Ile kawałków ma zbiór — i przypadek krzywej topologa, spójnej ale nie łukowo

A = A₁ ∪ A₂, A₁∩A₂=∅

T(x*) = x*

Twierdzenie Banacha

Odwzorowanie zwężające ma dokładnie jeden punkt stały — i iteracja zawsze do niego zbiega

d(Tx,Ty) ≤ q·d(x,y), q<1

ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Równoważność norm, brak podpokrycia skończonego, iteracja Banacha

3 rozwiązane zadania

Metryki i kule jednostkowe

Metryka musi spełniać tylko trzy warunki: d(x,y)=0 ⇔ x=y, symetrię i nierówność trójkąta. Rodzina metryk dₚ spełnia je dla każdego p ≥ 1:

dₚ(x,y) = (Σ|xᵢ−yᵢ|ᵖ)^(1/p)
d∞(x,y) = max |xᵢ−yᵢ|

p 2.0

punkt x — współrzędna x 0.70

punkt x — współrzędna y 0.45

d₁(0,x) — taksówkowa–

d₂(0,x) — euklidesowa–

d∞(0,x) — maksimum–

dₚ(0,x) — bieżące p–

p = 1 — romb p = 2 — okrąg p = ∞ — kwadrat bieżące p

kule jednostkowe {x : dₚ(0,x) ≤ 1}

dₚ(0,x) w funkcji p

Wnętrze, brzeg i domknięcie

Punkt p jest wewnętrzny, gdy jakaś kula K(p,ε) leży cała w A; brzegowy, gdy każda kula K(p,ε) trafia i w A, i w dopełnienie.

int A ⊂ A ⊂ Ā = int A ∪ ∂A
A otwarty ⇔ A = int A
A domknięty ⇔ A = Ā

Zbiór A

x₀ 0.00

y₀ 0.00

promień ε 0.18

status punktu (x₀,y₀)–

czy (x₀,y₀) ∈ A–

wnętrze int A brzeg ∂A zewnętrze

klasyfikacja liczona przez próbkowanie otoczeń

Zwartość przez pokrycia

Zbiór A jest zwarty, gdy z każdego pokrycia zbiorami otwartymi da się wybrać podpokrycie skończone. W ℝⁿ (twierdzenie Heinego-Borela) jest to równoważne temu, że A jest domknięty i ograniczony — ale definicja przez pokrycia działa w dowolnej przestrzeni metrycznej.

Zbiór A ⊂ ℝ

liczba użytych zbiorów pokrycia N 4

domknięty?–

ograniczony?–

zwarty (Heine-Borel)?–

niepokryta część A–

zbiór A i pierwsze N zbiorów pokrycia

miara niepokrytej części w funkcji N

Spójność i składowe

Zbiór jest spójny, gdy nie da się go rozbić na dwa niepuste, rozłączne zbiory otwarte w A. Łukowo spójny — gdy każde dwa punkty da się połączyć drogą wewnątrz A. Łukowa spójność implikuje spójność, ale nie odwrotnie.

Zbiór A

rozdzielczość siatki 240

składowe (na siatce)–

największa składowa–

składowe spójności wyznaczone algorytmem (BFS po siatce)

Twierdzenie Banacha o punkcie stałym

Jeśli przestrzeń jest zupełna, a T jest zwężające z stałą q < 1, to T ma dokładnie jeden punkt stały, a ciąg xₙ₊₁ = T(xₙ) zbiega do niego z każdego startu.

d(xₙ, x*) ≤ qⁿ/(1−q) · d(x₁,x₀)

a 0.60

b -0.35

c 0.40

d 0.55

liczba iteracji n 12

punkt startowy x₀ (kąt) 40°

stała Lipschitza q = ‖M‖₂–

punkt stały x* = (I−M)⁻¹b–

rzeczywisty błąd ‖xₙ − x*‖–

oszacowanie qⁿ/(1−q)·‖x₁−x₀‖–

orbita iteracji i obrazy koła Tⁿ(K)

błąd i oszacowanie a priori (skala log)

Przykład 1 — równoważność norm w ℝ²: d∞ ≤ d₂ ≤ d₁ ≤ 2·d∞

Pokaż, że dla x = (x₁,x₂) zachodzi ‖x‖∞ ≤ ‖x‖₂ ≤ ‖x‖₁ ≤ 2‖x‖∞, i że wszystkie te nierówności są ostre dla pewnych x.

1. ‖x‖∞ ≤ ‖x‖₂: niech M = max(|x₁|,|x₂|). Wtedy ‖x‖₂² = x₁²+x₂² ≥ M², więc ‖x‖₂ ≥ M = ‖x‖∞. ✓
2. ‖x‖₂ ≤ ‖x‖₁: podnosimy obie strony do kwadratu. ‖x‖₁² = (|x₁|+|x₂|)² = x₁² + x₂² + 2|x₁||x₂| = ‖x‖₂² + 2|x₁x₂| ≥ ‖x‖₂², bo składnik 2|x₁x₂| ≥ 0. ✓
3. ‖x‖₁ ≤ 2‖x‖∞: |x₁|+|x₂| ≤ M + M = 2M. ✓
4. Ostrość: dla x = (1,0) mamy ‖x‖∞ = ‖x‖₂ = ‖x‖₁ = 1 — pierwsze dwie nierówności stają się równościami. Dla x = (1,1): ‖x‖∞ = 1, ‖x‖₂ = √2 ≈ 1,414, ‖x‖₁ = 2 = 2‖x‖∞ — ostatnia staje się równością.
5. Wniosek: stałe 1 i 2 są optymalne. Skoro każda norma jest ograniczona przez każdą inną z dokładnością do stałej, to wszystkie trzy metryki mają te same zbiory otwarte — a więc tę samą topologię, te same ciągi zbieżne i te same funkcje ciągłe. Różni je wyłącznie kształt kuli (zakładka „Metryki i kule”).

Przykład 2 — (0,1] nie jest zwarty: pokrycie bez podpokrycia skończonego

1. Rozważmy rodzinę zbiorów otwartych Uₙ = (1/n, 2) dla n = 1, 2, 3, …
2. To jest pokrycie (0,1]: dla dowolnego x ∈ (0,1] mamy x > 0, więc z zasady Archimedesa istnieje n z 1/n < x. Wtedy x ∈ (1/n, 2) = Uₙ. ✓
3. Weźmy dowolną skończoną podrodzinę U_{n₁}, …, U_{n_k}. Niech N = max(n₁,…,n_k). Rodzina jest wstępująca (U₁ ⊂ U₂ ⊂ …), więc jej suma to po prostu U_N = (1/N, 2).
4. Ale punkt x = 1/(2N) należy do (0,1] i nie należy do (1/N, 2), bo 1/(2N) < 1/N.
5. Zatem żadne skończone podpokrycie nie istnieje — (0,1] nie jest zwarty. Zgadza się to z Heinem-Borelem: zbiór jest ograniczony, ale nie domknięty (0 jest punktem skupienia spoza zbioru).
6. Dla kontrastu [0,1] z tym samym pokryciem uzupełnionym o (−1, 1/2) — bo samo {Uₙ} nie pokrywa 0 — ma podpokrycie skończone: wystarczy (−1, 1/2) i U₃ = (1/3, 2). Na zakładce „Zwartość” licznik niepokrytej części spada wtedy do zera przy skończonym N, a dla (0,1] zostaje dodatni zawsze.

Przykład 3 — twierdzenie Banacha: rozwiązanie układu przez iterację

Rozwiąż x = Mx + b dla M = [[0,5; 0,2],[−0,3; 0,4]], b = (1; 2), startując z x₀ = (0,0).

1. Odwzorowanie T(x) = Mx + b jest zwężające, gdy ‖M‖ < 1. Sprawdzamy normę wierszową: ‖M‖∞ = max(0,5+0,2 ; 0,3+0,4) = max(0,7 ; 0,7) = 0,7 < 1 ✓ — T jest zwężające ze stałą q = 0,7 w metryce d∞.
2. Przestrzeń ℝ² z metryką d∞ jest zupełna, więc twierdzenie Banacha daje istnienie dokładnie jednego punktu stałego.
3. Iterujemy: x₁ = T(0,0) = (1; 2). x₂ = M·(1;2)+b = (0,5+0,4+1 ; −0,3+0,8+2) = (1,9 ; 2,5). x₃ = (0,95+0,5+1 ; −0,57+1,0+2) = (2,45 ; 2,43).
4. Punkt stały dokładnie: x* = (I−M)⁻¹b. I−M = [[0,5; −0,2],[0,3; 0,6]], det = 0,3 + 0,06 = 0,36. (I−M)⁻¹ = (1/0,36)·[[0,6; 0,2],[−0,3; 0,5]].
5. x* = (1/0,36)·(0,6·1 + 0,2·2 ; −0,3·1 + 0,5·2) = (1/0,36)·(1,0 ; 0,7) = (2,7̅ ; 1,94̅) ≈ (2,778 ; 1,944).
6. Kontrola oszacowania a priori: ‖x₁−x₀‖∞ = 2, więc po n = 3 krokach błąd ma być ≤ q³/(1−q)·2 = 0,343/0,3·2 ≈ 2,29. Rzeczywisty błąd: ‖x₃ − x*‖∞ = max(|2,45−2,778|, |2,43−1,944|) = 0,486 — istotnie mniejszy niż gwarancja, co jest normalne: oszacowanie a priori jest zgrubne, ale zawsze prawdziwe. Zakładka „Twierdzenie Banacha” rysuje obie te wielkości obok siebie.