Teoria miary i całka Lebesgue'a

Całka Riemanna dzieli dziedzinę i pyta o wartości funkcji na kawałkach. Lebesgue odwraca porządek: dzieli zbiór wartości i pyta, jak duży jest zbiór punktów, gdzie funkcja przyjmuje daną wartość. Ta zamiana kolejności wygląda niewinnie, a rozstrzyga o tym, czy wolno przejść do granicy pod całką — i sprawia, że całkowalne stają się funkcje, na których Riemann kapituluje.

μ(C) = 0

Zbiór Cantora

Nieprzeliczalnie wiele punktów o łącznej mierze zero — i wersja „gruba”, która ma miarę dodatnią

(2/3)ᵏ → 0

1_ℚ

Riemann kontra Lebesgue

Funkcja Dirichleta: sumy górna i dolna nigdy się nie spotykają, a całka Lebesgue'a istnieje

∫ 1_ℚ dμ = 0

sₙ ↗ f

Funkcje proste

Schodkowe przybliżenie od dołu — konstrukcja, na której zbudowana jest cała całka

∫f = lim ∫sₙ

lim ∫ = ∫ lim ?

Twierdzenia o zbieżności

Kiedy wolno zamienić granicę z całką — i kontrprzykład, gdy założeń brak

|fₙ| ≤ g, ∫g < ∞

ZADANIA

Przykłady krok po kroku

Miara zbioru Cantora, całka funkcji Dirichleta, uciekający garb

3 rozwiązane zadania

Zbiór Cantora i miara zero

W każdym kroku usuwamy ze środka każdego odcinka jego środkową część. To, co zostaje, jest nieprzeliczalne (tyle punktów, co w całym [0,1]), a mimo to ma miarę zero — o ile usuwane kawałki są dostatecznie duże.

Wariant konstrukcji

liczba kroków k 4

liczba odcinków po k krokach–

długość pojedynczego odcinka–

łączna miara po k krokach–

miara granicy (k → ∞)–

suma usuniętego–

kolejne kroki konstrukcji

miara pozostała po k krokach

Funkcja Dirichleta: Riemann kapituluje

1_ℚ(x) = 1 dla x wymiernych
1_ℚ(x) = 0 dla niewymiernych

W każdym przedziale, choćby najkrótszym, są i liczby wymierne, i niewymierne. Suma górna Darboux wynosi więc zawsze 1, dolna zawsze 0 — i nigdy się nie zbiegną, niezależnie od zagęszczenia podziału.

Funkcja

liczba podprzedziałów n 8

suma górna U(f, Pₙ)–

suma dolna L(f, Pₙ)–

różnica U − L–

całkowalna w sensie Riemanna?–

całka Lebesgue'a–

miara zbioru punktów nieciągłości–

podział dziedziny — podejście Riemanna

podział zbioru wartości — podejście Lebesgue'a

Przybliżanie funkcjami prostymi

Definicja całki Lebesgue'a dla f ≥ 0 brzmi: ∫f = sup {∫s : s prosta, 0 ≤ s ≤ f}. Standardowa konstrukcja bierze

sₙ(x) = min( ⌊2ⁿ·f(x)⌋ / 2ⁿ , n )

czyli dzieli oś wartości na poziomy co 2⁻ⁿ. Ciąg sₙ jest niemalejący i zbiega punktowo do f.

Funkcja f

poziom n 2

liczba poziomów 2ⁿ–

krok poziomu 2⁻ⁿ–

∫sₙ–

∫f (dokładnie)–

różnica ∫f − ∫sₙ–

czy sₙ ≤ sₙ₊₁ wszędzie–

f i przybliżenie schodkowe sₙ z podziałem osi wartości

∫sₙ rośnie do ∫f

Kiedy wolno zamienić granicę z całką

Lebesgue'a o zbieżności zdominowanej:
fₙ → f p.w. oraz |fₙ| ≤ g z ∫g < ∞
⇒ ∫fₙ → ∫f

Warunek majoranty g jest istotny: bez niego całki mogą uciec, choć funkcje zbiegają punktowo do zera.

Ciąg fₙ

n 3

granica punktowa f(x)–

∫fₙ–

∫f (granicy)–

czy ∫fₙ → ∫f–

najmniejsza majoranta sup fₙ–

∫ sup fₙ–

fₙ, granica punktowa i majoranta sup fₙ

∫fₙ w funkcji n

Przykład 1 — miara zbioru Cantora

Wykaż, że klasyczny zbiór Cantora ma miarę Lebesgue'a zero, mimo że jest nieprzeliczalny.

1. Konstrukcja: C₀ = [0,1]. Z każdego odcinka usuwamy otwartą środkową jedną trzecią. C₁ = [0,⅓] ∪ [⅔,1], C₂ ma 4 odcinki po 1/9, i tak dalej.
2. Po k krokach zostaje 2ᵏ odcinków, każdy długości 3⁻ᵏ, więc μ(Cₖ) = 2ᵏ · 3⁻ᵏ = (2/3)ᵏ.
3. Zbiór Cantora to C = ⋂ₖ Cₖ. Ciąg Cₖ jest zstępujący, a μ(C₀) < ∞, więc z ciągłości miary od góry: μ(C) = lim μ(Cₖ) = lim (2/3)ᵏ = 0.
4. Kontrola drugą drogą — zsumujmy to, co usunięto. W kroku k usuwamy 2^(k−1) odcinków długości 3⁻ᵏ, czyli łącznie 2^(k−1)·3⁻ᵏ. Suma po wszystkich k:
Σ_{k≥1} 2^(k−1)/3ᵏ = (1/3)·Σ_{k≥0}(2/3)ᵏ = (1/3)·(1/(1−2/3)) = (1/3)·3 = 1.
Usunęliśmy całą miarę odcinka, więc reszta ma miarę 0 ✓.
5. A jednak C nie jest pusty ani nawet przeliczalny. Punkt należy do C dokładnie wtedy, gdy ma rozwinięcie trójkowe złożone wyłącznie z cyfr 0 i 2. Odwzorowanie „zamień 2 na 1 i czytaj jako rozwinięcie dwójkowe” daje surjekcję C → [0,1], więc C jest mocy continuum.
6. Morał: „mało” w sensie miary i „mało” w sensie liczności to dwa niezależne pojęcia. Zbiór może mieć tyle punktów, co cały odcinek, a mimo to zajmować zerową długość.
7. Że to nie jest automatyczne, pokazuje wariant „gruby”: jeśli w kroku k usuwamy ze środka odcinki o łącznej długości 4⁻ᵏ zamiast trzeciej części, dostajemy zbiór równie „dziurawy” (nigdzie gęsty, bez punktów wewnętrznych), ale o mierze dodatniej. Przełącznik na zakładce „Zbiór Cantora” liczy obie miary równolegle.

Przykład 2 — całka funkcji Dirichleta

Pokaż, że 1_ℚ nie jest całkowalna w sensie Riemanna na [0,1], ale jest całkowalna w sensie Lebesgue'a, a jej całka wynosi 0.

1. Riemann. Weź dowolny podział P przedziału [0,1] na podprzedziały [xᵢ₋₁, xᵢ].
2. Każdy taki podprzedział, choćby najkrótszy, zawiera liczbę wymierną (gęstość ℚ) i niewymierną (gęstość ℝ\\ℚ). Zatem
Mᵢ = sup f = 1, mᵢ = inf f = 0 na każdym podprzedziale.
3. Sumy Darboux: U(f,P) = Σ Mᵢ·Δxᵢ = Σ 1·Δxᵢ = 1, natomiast L(f,P) = Σ 0·Δxᵢ = 0. Dla każdego P.
4. Całka górna = inf U = 1, całka dolna = sup L = 0. Nie są równe, więc funkcja nie jest całkowalna w sensie Riemanna.
5. Lebesgue. f jest funkcją prostą: przyjmuje tylko dwie wartości. ∫f dμ = 1·μ(ℚ ∩ [0,1]) + 0·μ((ℝ\\ℚ) ∩ [0,1]).
6. ℚ jest przeliczalna, więc ma miarę zero: ustawiamy ℚ = {q₁, q₂, …} i przykrywamy qₖ odcinkiem długości ε·2⁻ᵏ. Łączna długość ≤ ε·Σ2⁻ᵏ = ε, a ε jest dowolne, więc μ(ℚ) = 0.
7. Zatem ∫f dμ = 1·0 + 0·1 = 0. Całka istnieje i jest zerem.
8. Kryterium Lebesgue'a tłumaczy to jednym zdaniem: funkcja ograniczona jest całkowalna w sensie Riemanna wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór jej punktów nieciągłości ma miarę zero. Dla 1_ℚ tym zbiorem jest całe [0,1] — stąd porażka Riemanna. Dla funkcji Thomae (dostępnej na tej zakładce) zbiór nieciągłości to sama ℚ, czyli miara zero — i ta funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna, z całką 0.

Przykład 3 — uciekający garb: dlaczego potrzebna jest majoranta

Niech fₙ(x) = n·1_{[0, 1/n]}(x) na [0,1]. Zbadaj lim ∫fₙ oraz ∫lim fₙ.

1. Granica punktowa. Ustal x ∈ (0,1]. Dla n > 1/x mamy x > 1/n, więc fₙ(x) = 0. Zatem fₙ(x) → 0 dla każdego x > 0. W punkcie x = 0 wartość to n → ∞, ale {0} ma miarę zero, więc fₙ → 0 prawie wszędzie.
2. Całki. ∫₀¹ fₙ dμ = n · μ([0, 1/n]) = n · (1/n) = 1 dla każdego n.
3. Zatem lim ∫fₙ = 1, natomiast ∫lim fₙ = ∫0 = 0. Granica i całka nie zamieniają się miejscami.
4. Dlaczego twierdzenie o zbieżności zdominowanej nie ma tu zastosowania? Wymaga ono majoranty g ≥ |fₙ| dla wszystkich n, całkowalnej. Najmniejszym kandydatem jest g(x) = supₙ fₙ(x).
5. Dla x ∈ (1/(k+1), 1/k] największą wartość daje n = k, czyli g(x) = k ≈ 1/x. Ściślej: g(x) ≥ 1/x dla x ∈ (0,1].
6. Ale ∫₀¹ dx/x = [ln x]₀¹ = +∞. Majoranta nie jest całkowalna — założenie twierdzenia jest naruszone, więc brak sprzeczności.
7. Lemat Fatou daje tu wszystko, co się da: ∫lim inf fₙ ≤ lim inf ∫fₙ, czyli 0 ≤ 1 ✓. Nierówność bywa ostra — i ten przykład jest tego wzorcowym świadkiem.
8. Wariant „garb wędrujący” (też dostępny na zakładce) pokazuje inny wariant: garb o stałej wysokości 1 i szerokości 1/n przesuwający się w prawo. Tam ∫fₙ = 1/n → 0, więc całki zbiegają poprawnie, choć zbieżność nie jest jednostajna. Zbieżność całek i zbieżność jednostajna to dwie niezależne rzeczy.