Rachunek prawdopodobieństwa

Od częstości w powtarzanym doświadczeniu, przez twierdzenie Bayesa i rozkłady zmiennych losowych, po to, dlaczego rozkład normalny pojawia się wszędzie — nawet tam, gdzie nic z niego nie wynika na pierwszy rzut oka.

SYMULACJA

Przestrzeń probabilistyczna

Losuj na żywo i patrz, jak częstość względna zbiega do prawdopodobieństwa

P(A) = lim (liczba sukcesów)/n
BAYES

Prawdopodobieństwo warunkowe

Test medyczny na 1000 osobach — dlaczego „95% skuteczny” test może mylić częściej niż się wydaje

P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
ROZKŁADY

Zmienne losowe

Rozkład dwumianowy i Poissona — histogram, wartość oczekiwana, wariancja

E[X]=Σk·P(X=k)
GAUSS

Rozkład normalny

Gęstość, pole pod krzywą jako prawdopodobieństwo, reguła 68–95–99,7

φ(x) = e^(−(x−μ)²/2σ²)/(σ√2π)
UNIWERSALNOŚĆ

Centralne twierdzenie graniczne

Suma wielu niezależnych zmiennych — niezależnie od ich rozkładu — zbliża się do Gaussa

(Sₙ−nμ)/(σ√n) → N(0,1)

Częstość a prawdopodobieństwo

Zielone słupki to częstość względna (liczba wystąpień / liczba prób). Żółte kreski to prawdziwe prawdopodobieństwo. Im więcej losowań, tym bliżej.
Liczba losowań
0

Twierdzenie Bayesa — test medyczny

chory, wynik dodatni chory, wynik ujemny zdrowy, wynik dodatni zdrowy, wynik ujemny
Mianownik wzoru Bayesa to prawdopodobieństwo całkowite: zdarzenie „wynik dodatni” rozbijamy na przypadki po zupełnym układzie zdarzeń {chory, zdrowy} i sumujemy wkłady.
P(+) = P(+|ch)·P(ch) + P(+|zd)·P(zd)
Dopiero podzielenie pierwszego składnika przez tę sumę daje wzór Bayesa.
P(wynik dodatni) — prawdopodobieństwo całkowite
—
P(chory | wynik dodatni)
—
kontrola: wzór kontra zliczenie na siatce
—

Dyskretne zmienne losowe

Rozkład normalny N(μ,σ)

P(a<X<b)
—

Centralne twierdzenie graniczne

Sumujemy n niezależnych kopii tej samej (niekoniecznie „ładnej”) zmiennej losowej. Histogram to 4000 symulowanych sum, znormalizowanych. Czerwona krzywa to przybliżenie Gaussa z tej samej średniej i wariancji — patrz, jak histogram do niej dopasowuje się przy rosnącym n, niezależnie od kształtu rozkładu bazowego.

Przykład 1 — twierdzenie Bayesa (test medyczny)

Choroba występuje u 1% populacji. Test ma czułość 95% (wykrywa 95% chorych) i swoistość 90% (u 90% zdrowych daje wynik ujemny). Losowa osoba dostaje wynik dodatni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest faktycznie chora?

1. Dane: P(D)=0,01, P(+|D)=0,95, P(zdrowy)=0,99, P(+|zdrowy)=1−0,90=0,10.
2. Wzór Bayesa: P(D|+) = P(+|D)·P(D) / P(+).
3. P(+) = P(+|D)P(D) + P(+|zdrowy)P(zdrowy) = 0,95·0,01 + 0,10·0,99 = 0,0095 + 0,099 = 0,1085.
4. P(D|+) = 0,0095 / 0,1085 ≈ 8,76%. Mimo „95% skutecznego” testu, większość wyników dodatnich to fałszywe alarmy — bo choroba jest rzadka. To zjawisko nazywa się błędem bazowej stopy (base rate fallacy).

Przykład 2 — wartość oczekiwana i wariancja z definicji

Dla X ~ Dwumianowy(n=4, p=0,5) oblicz E[X] i Var(X) wprost z definicji i porównaj ze wzorem.

1. Rozkład: P(X=k) = C(4,k)·0,5⁴ = C(4,k)/16, więc P(0)=1/16, P(1)=4/16, P(2)=6/16, P(3)=4/16, P(4)=1/16.
2. E[X] = Σk·P(X=k) = (0·1+1·4+2·6+3·4+4·1)/16 = (0+4+12+12+4)/16 = 32/16 = 2. Zgadza się ze wzorem np=4·0,5=2.
3. Var(X) = Σ(k−E[X])²·P(X=k) = ((−2)²·1+(−1)²·4+0²·6+1²·4+2²·1)/16 = (4+4+0+4+4)/16 = 16/16 = 1.
4. Zgadza się ze wzorem np(1−p) = 4·0,5·0,5 = 1. ✓

Przykład 3 — przybliżenie normalne z poprawką na ciągłość

Dla X ~ Dwumianowy(n=100, p=0,5) oszacuj P(X≤45), przybliżając rozkładem normalnym (tw. de Moivre'a–Laplace'a).

1. μ = np = 50, σ = √(np(1−p)) = √25 = 5.
2. Poprawka na ciągłość: „X≤45” (zmienna dyskretna) przybliżamy przez „Y≤45,5” (zmienna ciągła).
3. Standaryzacja: Z = (45,5−50)/5 = −0,9.
4. P(X≤45) ≈ Φ(−0,9) = 1−Φ(0,9) ≈ 1−0,8159 = 0,1841 (ok. 18,4%). Sprawdź na zakładce „Rozkład normalny”, ustawiając μ=50, σ=5 i zacieniowując (−∞, 45,5].